Correlación, regresión y ANOVA trabajan con variables cuantitativas: metros, euros, puntos de satisfacción. Pero buena parte de los datos de NovaMarket son categóricos: canal de compra (tienda/online), método de pago, tramo de edad, seguir o darse de baja del Club Nova. Con categorías no hay medias que comparar; hay frecuencias que contar, y la pregunta de negocio se convierte en «¿están relacionadas estas dos clasificaciones?». En esta lección recuperaremos las tablas de contingencia que usamos con probabilidades en el Módulo 3 — pero ahora con inferencia —, construiremos la prueba chi-cuadrado de independencia paso a paso (frecuencias esperadas, estadístico, grados de libertad y lectura de su tabla), aprenderemos la prueba de bondad de ajuste para comparar unas frecuencias con una distribución de referencia, localizaremos las discrepancias con los residuos tipificados, mediremos la fuerza de la asociación con la V de Cramér y conectaremos todo con la prueba z de dos proporciones del Módulo 5.

1. De las probabilidades a la inferencia: la tabla de contingencia, segunda visita
2. La lógica de la prueba: frecuencias observadas vs esperadas
3. Caso 1 — ¿Depende el método de pago del canal? Prueba de independencia paso a paso
4. La distribución chi-cuadrado y cómo leer su tabla
5. Condiciones de validez de la prueba
6. ¿Dónde está la discrepancia? Residuos tipificados
7. ¿Cómo de fuerte es la asociación? La V de Cramér
8. Prueba de bondad de ajuste: ¿siguen las ventas el patrón histórico?
9. Conexión con la prueba z de dos proporciones

En las Reglas de Probabilidad usamos tablas de contingencia para calcular probabilidades conjuntas y condicionadas: allí las frecuencias eran el punto de partida y las tomábamos como verdad. Ahora damos el salto inferencial del Módulo 5: la tabla proviene de una muestra, y la pregunta es si el patrón que muestra refleja una relación real en la población o es solo ruido muestral. El contraste que responde a esa pregunta es la prueba chi-cuadrado de independencia (\( \chi^2 \), «ji cuadrado»):

• \( H_0: \) las dos variables son independientes (el reparto de una no depende de la otra)
• \( H_1: \) las dos variables están relacionadas

La idea es preguntarle a \( H_0 \): «si las variables fueran independientes, ¿qué tabla esperaríamos ver?», y medir cuánto se aleja la tabla real de esa tabla ideal. Del Módulo 3 sabemos que bajo independencia \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \); traducido a frecuencias, la frecuencia esperada de cada casilla es

\[ E_{ij} = \frac{(\text{total de su fila}) \times (\text{total de su columna})}{n} \]

y la discrepancia global se acumula casilla a casilla en el estadístico

\[ \chi^2 = \sum_{\text{casillas}} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]

donde \( O_{ij} \) es lo observado. Cada sumando mide cuánto se desvía una casilla de lo esperado, en términos relativos a lo esperado (dividir por \( E_{ij} \) evita que las casillas grandes dominen solo por serlo). Si \( H_0 \) es cierta, todas las desviaciones son pequeñas y \( \chi^2 \) queda cerca de 0; si hay relación, algunas casillas se desvían mucho y \( \chi^2 \) crece. Como en el ANOVA, el contraste es unilateral derecho: solo los valores grandes desmienten la independencia.

Marta quiere saber si el método de pago depende del canal (decisión práctica: qué pasarelas priorizar en la web y qué cajas instalar en tienda). Se toma una muestra aleatoria de 200 compras:

Frecuencias observadas \( O_{ij} \):

Paso 1 — Frecuencias esperadas. Bajo independencia, el reparto de pagos debería ser el mismo en ambos canales. Por ejemplo, la casilla Tienda–Tarjeta: \( E = 120 \times 122 / 200 = 73{,}2 \). La tabla completa:

(Comprobación: las esperadas reproducen los mismos totales de fila y columna que las observadas.)

Paso 2 — Contribuciones al estadístico. Casilla a casilla, \( (O-E)^2/E \):

\[ \chi^2 = 0{,}14 + 5{,}75 + 3{,}02 + 0{,}21 + 8{,}63 + 4{,}52 = 22{,}27 \]

Paso 3 — Grados de libertad. En una tabla de \( f \) filas y \( c \) columnas:

\[ gl = (f-1)(c-1) = (2-1)(3-1) = 2 \]

La intuición: fijados los totales de fila y columna, solo puedes rellenar libremente 2 casillas; el resto queda determinado.

Paso 4 — Decisión. El valor crítico al 5 % con 2 gl es \( \chi^2_{0{,}05;,2} = 5{,}99 \) (enseguida vemos de dónde sale). Como \( 22{,}27 > 5{,}99 \), rechazamos \( H_0 \) con contundencia (p < 0,001): el método de pago depende del canal.

El estadístico sigue, bajo \( H_0 \), la distribución chi-cuadrado, la tercera y última distribución de tablas del curso (tras la t y la F):

• Solo toma valores positivos (es una suma de cuadrados) y es asimétrica con cola a la derecha.
• Depende de un único parámetro: los grados de libertad. Su media es justamente gl, lo que da una referencia mental rápida: un \( \chi^2 \) muy por encima de sus gl empieza a ser sospechoso para \( H_0 \).
• Con más gl se desplaza a la derecha y se simetriza.

Cómo leer su tabla: igual que la tabla t — una fila por grados de libertad, una columna por área en la cola derecha (α); el cruce da el valor crítico. Un extracto:

Fila 2, columna 0,05: el 5,99 que hemos usado. Nuestro 22,27 supera incluso el crítico al 1 % (9,21).

La chi-cuadrado es una aproximación (las frecuencias son discretas; la distribución, continua), y funciona bien si:

• Frecuencias esperadas ≥ 5 en todas las casillas (la regla práctica más extendida). Ojo: la condición se comprueba sobre las esperadas, no sobre las observadas — nuestra casilla Online–Efectivo tiene \( O = 4 \), pero su esperada es 15,6, así que no hay problema.
• Observaciones independientes entre sí y cada una contada en una sola casilla (una compra, una fila de la tabla; nunca el mismo cliente contado dos veces).

Si alguna esperada baja de 5, las soluciones habituales son agrupar categorías afines (p. ej., fusionar dos métodos de pago minoritarios en «otros») o ampliar la muestra.

Como el F del ANOVA, el \( \chi^2 \) global dice «hay relación», pero no dónde. Para localizarla se usan los residuos tipificados de cada casilla:

\[ r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} \]

que se comportan aproximadamente como puntuaciones z: valores más allá de ±2 señalan casillas con desviación destacable (el signo indica exceso o déficit respecto a la independencia).

Lectura para Marta: la tarjeta se comporta igual en ambos canales (residuos minúsculos — coherente con su papel dominante: el 61 % de clientes con tarjeta que estimamos en el Módulo 5). La relación la generan el efectivo, sobrerrepresentado en tienda y casi ausente online, y el pago móvil, sobrerrepresentado online. Decisión informada: reforzar Bizum/wallets en la web y mantener la caja de efectivo en tienda.

Con muestras grandes, hasta relaciones triviales dan \( \chi^2 \) significativos (la eterna lección: significación ≠ relevancia). La medida de fuerza estándar es la V de Cramér:

\[ V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(f-1,, c-1)}} = \sqrt{\frac{22{,}27}{200 \times 1}} = \sqrt{0{,}111} = 0{,}33 \]

V va de 0 (independencia) a 1 (asociación perfecta); orientativamente, ~0,1 es débil, ~0,3 moderada y ~0,5 fuerte. Nuestro 0,33 indica una asociación moderada: real y accionable, sin ser un determinismo. Es el análogo categórico del r de Pearson y del η² del ANOVA: el trío completo de «tamaños de efecto» del módulo.

La segunda gran aplicación del chi-cuadrado no cruza dos variables: compara una variable categórica con una distribución de referencia. Históricamente, las ventas de NovaMarket se reparten así por categoría (la cuota que ya usamos en el Módulo 3): alimentación fresca 38 %, despensa 27 %, bebidas 14 %, droguería y perfumería 12 %, otros 9 %. Tras la última reforma de surtido, Marta quiere saber si el patrón se ha movido. Se clasifican 400 líneas de venta de la última semana:

Aquí \( H_0 \) es «las ventas siguen la distribución histórica», los grados de libertad son \( gl = k - 1 = 5 - 1 = 4 \) (k categorías; el −1 porque los porcentajes deben sumar 100), y el crítico al 5 % es \( \chi^2_{0{,}05;,4} = 9{,}49 \). Como \( 6{,}58 < 9{,}49 \), no rechazamos \( H_0 \): las desviaciones observadas (menos fresco, más «otros») son compatibles con el azar muestral. Buen recordatorio del Módulo 5: no rechazar no demuestra que nada haya cambiado — solo que 400 líneas no bastan para afirmarlo; si la sospecha persiste, tocaría más muestra (potencia).

Un caso particular importante: la tabla 2×2. Comparar la proporción de pago con tarjeta entre Madrid-Centro (0,68) y Cuenca (0,49), como hicimos en el Módulo 5 con la prueba z de dos proporciones, equivale exactamente a montar la tabla 2×2 (tienda × paga-con-tarjeta-sí/no) y aplicarle chi-cuadrado: se cumple la identidad

\[ \chi^2_{(1,gl)} = z^2 \]

y también entre críticos: \( 3{,}84 = 1{,}96^2 \). Ambas pruebas dan siempre el mismo valor p bilateral; son la misma inferencia con dos ropajes. ¿Cuándo usar cada una? La z cuando hay exactamente dos proporciones y quieres un contraste unilateral o un intervalo de confianza para la diferencia; la chi-cuadrado cuando hay más de dos filas o columnas — su gran ventaja es generalizar sin esfuerzo, igual que el ANOVA generalizaba el contraste t.

• Aplicar chi-cuadrado a porcentajes o medias. El estadístico se calcula siempre sobre conteos (frecuencias absolutas). Convertir la tabla a porcentajes antes de calcular invalida todo (n desaparece, y n es la fuerza de la evidencia).
• Comprobar la condición «≥ 5» sobre las observadas. La regla se aplica a las frecuencias esperadas. Una observada de 4 con esperada de 15,6 es perfectamente válida.
• Olvidar que el contraste es de cola derecha. Un \( \chi^2 \) minúsculo no «confirma» la independencia; y un ajuste sospechosamente perfecto a veces delata datos retocados.
• Confundir significación con fuerza. Con n = 20.000, un \( \chi^2 \) enorme puede corresponder a una V de Cramér de 0,05: relación real pero irrelevante. Informa siempre de ambos.
• Quedarse en el veredicto global. Sin residuos tipificados no sabes qué casillas generan la relación, y la decisión de negocio vive precisamente ahí.
• Contar dos veces al mismo individuo (un cliente con dos compras en la muestra, una encuesta respondida en tienda y online). Rompe la independencia y sesga el estadístico.
• Leer la asociación como causalidad. Que la baja del club esté asociada al tramo de edad no explica el porqué; las variables ocultas de la primera lección del módulo también acechan a las tablas.

Ejercicio 1. El Club Nova (380.000 socios) sigue durante un año una muestra de 300 socios para estudiar si la baja depende del tramo de edad:

Contrasta la independencia al 5 % (\( \chi^2_{0{,}05;,2} = 5{,}99 \)) y, si procede, localiza la discrepancia con los residuos tipificados de la columna «Baja».

Ejercicio 2. Auditoría de transportistas: de 200 entregas, LogiExpress hizo 140 (14 tarde) y RápidoSur 60 (12 tarde). (a) Monta la tabla 2×2 y contrasta al 5 % si llegar tarde depende del transportista (\( \chi^2_{0{,}05;,1} = 3{,}84 \)). (b) Comprueba la relación con la prueba z: ¿qué z equivale a tu \( \chi^2 \)? (c) ¿Cambia algo si la pregunta de Marta era, desde el principio, «¿es RápidoSur peor?»?

Ejercicio 3. Atención al cliente registra 100 reclamaciones semanales y quiere saber si se reparten uniformemente entre los 5 días laborables: lunes 32, martes 18, miércoles 16, jueves 12, viernes 22. Contrasta la bondad de ajuste al 5 % (\( \chi^2_{0{,}05;,4} = 9{,}49 \)) y señala el día responsable de la mayor discrepancia.

Ejercicio 1. Esperadas de la columna «Baja»: \( 100 \times 42/300 = 14 \); \( 120 \times 42/300 = 16{,}8 \); \( 80 \times 42/300 = 11{,}2 \) (y «Sigue»: 86; 103,2; 68,8 — todas ≥ 5). Contribuciones: \( (22-14)^2/14 = 4{,}57 \); \( (12-16{,}8)^2/16{,}8 = 1{,}37 \); \( (8-11{,}2)^2/11{,}2 = 0{,}91 \); \( (78-86)^2/86 = 0{,}74 \); \( (108-103{,}2)^2/103{,}2 = 0{,}22 \); \( (72-68{,}8)^2/68{,}8 = 0{,}15 \). Total \( \chi^2 = 7{,}97 > 5{,}99 \): se rechaza — la baja depende del tramo de edad. Residuos de «Baja»: jóvenes \( (22-14)/\sqrt{14} = +2{,}14 \); 35–55: \( -1{,}17 \); mayores: \( -0{,}96 \). La discrepancia la concentran los menores de 35, que se dan de baja mucho más de lo esperable (22 % observado frente al 14 % global): candidato claro para un plan de fidelización joven. Error frecuente: calcular gl como casillas − 1 = 5 en lugar de (3−1)(2−1) = 2.

Ejercicio 2. (a) Tabla: LogiExpress 14 tarde / 126 a tiempo; RápidoSur 12 / 48; totales 26 tarde, 174 a tiempo. Esperadas: 18,2 y 7,8 (tarde); 121,8 y 52,2 (a tiempo) — todas ≥ 5. \( \chi^2 = 0{,}97 + 2{,}26 + 0{,}14 + 0{,}34 = 3{,}71 < 3{,}84 \): al 5 % no se rechaza la independencia, pese a que las tasas muestrales (10 % vs 20 %) doblan la una a la otra — con solo 60 envíos de RápidoSur, la evidencia se queda en el borde (p ≈ 0,054). (b) \( z = \sqrt{3{,}71} = 1{,}93 < 1{,}96 \): misma conclusión, como exige la identidad \( \chi^2 = z^2 \). (c) Sí: con hipótesis unilateral formulada a priori (\( H_1: p_{\text{RS}} > p_{\text{LE}} \)), el crítico z es 1,645 y 1,93 sí rechaza. La dirección debe decidirse antes de mirar los datos — y encaja con lo que ya sabíamos de ambos transportistas (8 % vs 15 % tarde históricos). Error frecuente: pasarse a unilateral después de ver el resultado; eso es el p-hacking del Módulo 5.

Ejercicio 3. Esperadas: \( 100/5 = 20 \) por día. \( \chi^2 = \frac{144+4+16+64+4}{20} = \frac{232}{20} = 11{,}6 > 9{,}49 \): se rechaza la uniformidad — las reclamaciones no se reparten por igual. Mayor discrepancia: el lunes, residuo \( (32-20)/\sqrt{20} = +2{,}68 \) (acumula lo ocurrido el fin de semana, probablemente); el jueves queda por debajo de lo esperado (\( -1{,}79 \)). Implicación operativa: reforzar el equipo de atención los lunes. Error frecuente: usar gl = 5 en vez de k − 1 = 4, o repartir las esperadas según las observadas (las esperadas vienen del modelo de H₀ — aquí, uniforme —, nunca de los datos).

Con el chi-cuadrado completamos el arsenal del módulo: la prueba de independencia nos dijo que el método de pago depende del canal (χ² = 22,27, con el efectivo anclado a la tienda y el pago móvil al online, V = 0,33), la de bondad de ajuste que el mix de ventas sigue siendo compatible con el patrón histórico 38/27/14/12/9, y los residuos tipificados nos enseñaron a señalar la casilla exacta donde vive cada discrepancia — además de descubrir que la vieja prueba z de dos proporciones era un chi-cuadrado disfrazado. Cierra así un módulo con una idea unificadora: medir relaciones (r y rs), convertirlas en predicción (regresión), comparar grupos (ANOVA) y cruzar categorías (χ²), siempre con su contraste de significación y su tamaño de efecto. Pero todas estas herramientas comparten un supuesto silencioso: que las observaciones son independientes y el tiempo no juega. En cuanto los datos son ventas de cada semana, una detrás de otra — con su tendencia, su estacionalidad de Navidad y sus rachas —, ese supuesto salta por los aires y hace falta maquinaria nueva: las Series Temporales con las que arranca el Módulo 7.