Al cerrar el módulo anterior quedó una advertencia en el aire: casi todas las herramientas vistas hasta ahora — intervalos, contrastes, regresión, ANOVA — descansan sobre un supuesto silencioso, el de que las observaciones son independientes entre sí. Pero cuando los datos son las ventas de cada semana, una detrás de otra, ese supuesto salta por los aires: la semana de Navidad se parece a la Navidad del año pasado, un lunes se parece a otro lunes, y una buena semana suele venir seguida de otra buena. En esta lección aprenderás a trabajar con datos ordenados en el tiempo: a descomponerlos en tendencia, estacionalidad y ruido, a suavizarlos con medias móviles, a construir predicciones sencillas y a medir cuánto te equivocas al predecir. El caso que guiará toda la lección es real en NovaMarket: Marta necesita una previsión de ventas del e-commerce para dimensionar la campaña de Navidad — cuánto stock pedir, cuántos repartidores reforzar, cuánto presupuesto de publicidad asignar.

1. Qué es una serie temporal y por qué rompe la independencia
2. Los componentes de una serie: tendencia, estacionalidad, ciclo e irregular
3. Descomposición aditiva vs multiplicativa
4. Medias móviles: suavizar para ver la tendencia
5. Índices de estacionalidad con las ventas online de NovaMarket
6. Alisado exponencial simple
7. Predicción: del método naïve a tendencia + estacionalidad
8. Evaluar la predicción: MAE y MAPE
9. Autocorrelación: la memoria de la serie

Una serie temporal es una sucesión de observaciones de la misma variable tomadas en instantes de tiempo consecutivos y, normalmente, equiespaciados: ventas diarias, reclamaciones semanales, facturación trimestral. Ya distinguimos en la lección de tipos de datos entre datos transversales (muchas unidades en un mismo momento: las 42 tiendas hoy) y longitudinales (la misma unidad a lo largo del tiempo: las ventas online de NovaMarket trimestre a trimestre). Esta lección es la maquinaria prometida para los segundos.

¿Por qué no valen sin más las herramientas de los módulos 5 y 6? Porque en una serie temporal:

• Las observaciones se parecen a sus vecinas. Si las ventas online de esta semana han sido altas, lo más probable es que las de la semana que viene también lo sean. Eso es dependencia, y los contrastes t o z asumen justo lo contrario.
• El orden importa. En una muestra de tickets podías barajar los datos sin perder nada; en una serie, barajar destruye la información principal (la evolución).
• La media puede no existir como concepto útil. ¿Qué significa "la venta trimestral media" de una serie que crece un 10 % al año? Es un número que no describe ni el pasado lejano ni el presente.

La consecuencia práctica: en lugar de estimar un parámetro fijo, el objetivo pasa a ser entender la estructura temporal (qué parte es tendencia, qué parte es estacional, qué parte es ruido) y usarla para predecir.

La forma clásica de pensar una serie es descomponerla en cuatro componentes:

Dos matices importantes:

• Estacionalidad ≠ ciclo. La estacionalidad tiene período fijo (cada cuarto trimestre, cada lunes); el ciclo no (una expansión económica puede durar 4 años u 8). Con series cortas, como las que manejaremos, el ciclo apenas puede separarse de la tendencia y se suele tratar junto a ella (componente tendencia-ciclo).
• La estacionalidad no es "mala". Es información valiosísima: que el T4 venda un 29 % más que un trimestre normal (lo calcularemos enseguida) es exactamente lo que Marta necesita para dimensionar la campaña.

¿Cómo se combinan los componentes? Hay dos modelos clásicos:

\[ \text{Aditivo:} \quad y_t = T_t + S_t + I_t \]

\[ \text{Multiplicativo:} \quad y_t = T_t \times S_t \times I_t \]

Criterio de elección (mírese siempre el gráfico de la serie):

• Si las oscilaciones estacionales tienen amplitud constante en euros aunque la serie crezca (cada Navidad suma "+1 millón" fijo), el modelo es aditivo: la estacionalidad se mide en las unidades de la serie.
• Si las oscilaciones crecen con el nivel de la serie (cada Navidad la serie sube "un 29 %", que son más euros cuanto más grande es el negocio), el modelo es multiplicativo: la estacionalidad se mide como porcentaje o índice.

En ventas de empresa lo habitual es lo segundo — el efecto Navidad escala con el tamaño del negocio —, así que trabajaremos el caso NovaMarket en versión multiplicativa. La lógica de cálculo es idéntica en ambas: se estima la tendencia, se compara la serie con ella (restando en el aditivo, dividiendo en el multiplicativo) y lo que se repite periódicamente es la estacionalidad.

La herramienta más simple para estimar la tendencia es la media móvil: sustituir cada dato por la media de una ventana de \(k\) observaciones centrada en él. Al promediar, el ruido (y la estacionalidad, si la ventana abarca un período completo) se cancela y queda la señal de fondo.

\[ MM_k(t) = \frac{y_{t-\frac{k-1}{2}} + \dots + y_t + \dots + y_{t+\frac{k-1}{2}}}{k} \]

Las ventas online de NovaMarket en las últimas 7 semanas (miles de €):

La serie sube, pero a trompicones: ¿la semana 2 fue "mala" o solo ruido? Calculemos la media móvil de orden 3 (la media de cada semana con su anterior y su posterior):

• \(MM_3(2) = \dfrac{310 + 295 + 330}{3} = \dfrac{935}{3} = 311{,}7\)
• \(MM_3(3) = \dfrac{295 + 330 + 315}{3} = \dfrac{940}{3} = 313{,}3\)
• \(MM_3(4) = \dfrac{330 + 315 + 350}{3} = \dfrac{995}{3} = 331{,}7\)
• \(MM_3(5) = \dfrac{315 + 350 + 340}{3} = \dfrac{1005}{3} = 335{,}0\)
• \(MM_3(6) = \dfrac{350 + 340 + 365}{3} = \dfrac{1055}{3} = 351{,}7\)

La serie suavizada — 311,7; 313,3; 331,7; 335,0; 351,7 — cuenta una historia limpia: crecimiento sostenido de unos 10.000 € semanales, sin los dientes de sierra del dato bruto. Observaciones prácticas:

• Se pierden los extremos: no hay media móvil para las semanas 1 y 7 (faltan vecinos). Cuanto mayor es \(k\), más se pierde.
• A mayor \(k\), más suave pero más lenta en reaccionar a cambios reales. Es el mismo dilema sesgo-reactividad que reaparecerá en el alisado exponencial.
• Si hay estacionalidad, la ventana debe cubrir un período completo: para datos trimestrales, orden 4; para diarios con patrón semanal, orden 7. Con orden par (4, 12) la media móvil queda "entre" dos períodos y se centra promediando dos medias móviles consecutivas — lo verás en el ejemplo siguiente.

Vamos al caso de Marta. Las ventas trimestrales del e-commerce de los dos últimos años (millones de €):

Se ve a simple vista: cada T4 se dispara (Navidad) y cada T3 flojea (verano), sobre una tendencia creciente. Cuantifiquémoslo.

Paso 1. Media móvil de orden 4 (un año completo, para que la estacionalidad se cancele):

• \(t=1\text{–}4:; (4{,}2+4{,}0+3{,}8+6{,}0)/4 = 4{,}50\)
• \(t=2\text{–}5:; (4{,}0+3{,}8+6{,}0+4{,}6)/4 = 4{,}60\)
• \(t=3\text{–}6:; (3{,}8+6{,}0+4{,}6+4{,}4)/4 = 4{,}70\)
• \(t=4\text{–}7:; (6{,}0+4{,}6+4{,}4+4{,}2)/4 = 4{,}80\)
• \(t=5\text{–}8:; (4{,}6+4{,}4+4{,}2+6{,}6)/4 = 4{,}95\)

Paso 2. Centrar (cada media de orden 4 cae "entre" dos trimestres; se promedian de dos en dos para alinearlas con un trimestre concreto):

Paso 3. Índices de estacionalidad. Con más años, se promediarían las razones de cada trimestre; aquí tenemos una por trimestre y las tomamos directamente (comprobando que suman ≈ 4, es decir, que promedian 1 — aquí suman 3,996, ajuste despreciable):

Este 1,29 es oro para Marta: sea cual sea el nivel del negocio, el cuarto trimestre vende en torno a un 29 % más que la tendencia. La serie desestacionalizada (\(y_t / S_t\)) sirve para responder otra pregunta habitual: ¿el T4 fue bueno más allá de que fuera Navidad? Por ejemplo, T4-2025 desestacionalizado: \(6{,}6 / 1{,}29 = 5{,}12\), en línea con la tendencia — fue una buena Navidad, pero no excepcional.

La media móvil da el mismo peso a todos los datos de la ventana e ignora los de fuera. El alisado exponencial simple hace algo más elegante: promedia toda la historia, pero con pesos que decaen geométricamente — lo reciente pesa mucho, lo antiguo casi nada. Su fórmula recursiva es sencillísima:

\[ S_t = \alpha , y_t + (1-\alpha) , S_{t-1} \]

donde \(S_t\) es el valor suavizado en \(t\) y \(\alpha \in (0,1)\) la constante de alisado: con \(\alpha\) alto (0,7) el suavizado reacciona rápido pero suaviza poco; con \(\alpha\) bajo (0,1) suaviza mucho pero tarda en enterarse de los cambios. Valores entre 0,1 y 0,3 son un punto de partida habitual.

Dos pasos a mano con las ventas semanales anteriores, tomando \(\alpha = 0{,}3\) y arrancando con \(S_1 = y_1 = 310\):

• \(S_2 = 0{,}3 \times 295 + 0{,}7 \times 310 = 88{,}5 + 217{,}0 = 305{,}5\)
• \(S_3 = 0{,}3 \times 330 + 0{,}7 \times 305{,}5 = 99{,}0 + 213{,}9 = 312{,}9\)
• \(S_4 = 0{,}3 \times 315 + 0{,}7 \times 312{,}9 = 94{,}5 + 219{,}0 = 313{,}5\)

Como predicción, el alisado simple propone \(\hat{y}_{t+1} = S_t\): "mañana, como el suavizado de hoy". Es adecuado para series sin tendencia ni estacionalidad claras (por ejemplo, la demanda semanal de un producto de despensa maduro). Para series con tendencia y estacionalidad existen extensiones (alisado doble de Holt, triple de Holt-Winters) que no desarrollaremos: quédate con la idea de que añaden ecuaciones análogas para la pendiente y para los índices estacionales.

La predicción naïve (ingenua) es: "el próximo valor será igual al último observado"; en su versión estacional: "el próximo T4 será igual al último T4". Parece una broma, pero es el punto de referencia honesto: cualquier método sofisticado que no supere al naïve no está aportando nada.

• Naïve estacional para T4-2026: \(\hat{y} = 6{,}6\) millones (lo que vendió T4-2025).

Un método mejor combina lo que ya hemos calculado:

1. Estimar la tendencia con las medias móviles centradas: pasaron de 4,55 a 4,875 en 3 trimestres, es decir, crecen unos \((4{,}875-4{,}55)/3 \approx 0{,}11\) millones por trimestre.
2. Extrapolar la tendencia hasta el trimestre a predecir. La última media centrada (4,875) corresponde a T2-2025; hasta T4-2026 hay 6 trimestres: \(T \approx 4{,}875 + 6 \times 0{,}11 = 5{,}53\).
3. Aplicar el índice estacional: \(\hat{y}_{T4\text{-}2026} = 5{,}53 \times 1{,}29 \approx 7{,}1\) millones de €.

La previsión para Marta: unos 7,1 millones de € en el T4-2026, frente a los 6,6 del naïve. Medio millón de diferencia que se traduce directamente en stock, repartidores y presupuesto de campaña. Conviene acompañarla de una horquilla — la lección de intervalos enseñó por qué un número solo es una promesa temeraria — y para eso necesitamos medir el error típico de predicción del método, que es justo el siguiente apartado.

¿Cómo se sabe si un método predice bien? Se predice un período que ya conocemos (reservado a propósito) y se comparan predicciones con realidad. Las dos métricas más usadas:

\[ MAE = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} |y_t - \hat{y}t| \qquad \qquad MAPE = \frac{100}{n}\sum{t=1}^{n} \frac{|y_t - \hat{y}_t|}{y_t} \]

• MAE (error absoluto medio): "me equivoco, en promedio, en tantos euros". En las unidades de la serie, fácil de comunicar.
• MAPE (error porcentual absoluto medio): "me equivoco, en promedio, un tanto por ciento". Comparable entre series de distinta escala; falla si hay valores reales cercanos a cero.

Comparemos ambos métodos prediciendo 2025 con la información disponible a finales de 2024:

• Naïve: \(MAE = (0{,}4+0{,}4+0{,}4+0{,}6)/4 = 0{,}45\) millones; \(MAPE = (8{,}7% + 9{,}1% + 9{,}5% + 9{,}1%)/4 \approx 9{,}1%\).
• Tendencia + estacionalidad: \(MAE = (0{,}10+0{,}05+0{,}10+0{,}10)/4 \approx 0{,}09\) millones; \(MAPE \approx 1{,}8%\).

El método con estructura reduce el error de un 9 % a menos de un 2 %: sí supera al listón naïve, y con margen. Ese MAPE del 1,8 % es además la horquilla honesta que acompañar a la previsión: 7,1 millones ± un 2 % aproximadamente, si el patrón se mantiene.

La autocorrelación es la correlación de la serie consigo misma desplazada \(k\) períodos (el desplazamiento se llama retardo o lag): el coeficiente \(r_k\) mide, con la misma escala de −1 a +1 del coeficiente de Pearson que ya conoces, cuánto se parece \(y_t\) a \(y_{t-k}\).

Su lectura es un diagnóstico exprés de la estructura temporal:

Dos ejemplos en NovaMarket:

• En las reclamaciones diarias, \(r_7 = 0{,}81\): cada lunes se parece a los lunes anteriores — es la firma numérica del pico de lunes (32 de las 100 reclamaciones semanales) que descubrimos con la chi-cuadrado de bondad de ajuste.
• En las ventas trimestrales online, \(r_4\) es alto: la firma de la estacionalidad anual que acabamos de cuantificar.

La autocorrelación tiene un segundo uso, de control de calidad: los residuos de un buen modelo de predicción no deberían tener autocorrelación (si la tienen, queda estructura sin explotar). Sobre esta idea se construye toda una familia de modelos — los ARIMA — que modelan la serie directamente a partir de sus autocorrelaciones; son el "siguiente nivel" tras este curso y aquí basta con que te suene el nombre: cuando el software te ofrezca un ARIMA, ya sabes qué pregunta responde.

• Comparar períodos sin desestacionalizar. "Las ventas de T3 cayeron un 30 % respecto a T2, ¡crisis!" No: T3 siempre está un 16,5 % por debajo. Compara con el mismo trimestre del año anterior o desestacionaliza antes de alarmarte (o de celebrar).
• Aplicar t, z o regresión ordinaria a datos temporales sin pensarlo. La dependencia entre observaciones invalida los valores p calculados como si fueran independientes: suelen salir "demasiado significativos".
• Extrapolar la tendencia muy lejos. Prolongar la recta 2 trimestres es razonable; prolongarla 5 años es ciencia ficción. Es el mismo peligro de extrapolación que vimos en regresión, agravado porque las tendencias de negocio cambian.
• Confundir ciclo con estacionalidad. Si el período no es fijo y conocido, no es estacionalidad y no se puede capturar con índices estacionales.
• Elegir el método más complejo por defecto. Calcula siempre el error del naïve primero; si tu método no lo bate en MAE/MAPE sobre datos que no ha visto, no lo uses.
• Evaluar el error sobre los mismos datos usados para ajustar. Es hacerse trampas al solitario: reserva los últimos períodos y predícelos "a ciegas", como hicimos con 2025.

Las unidades vendidas de turrón (miles) en las últimas 5 semanas en Madrid-Centro fueron: 12, 18, 15, 21, 24. Calcula la media móvil de orden 3 y comenta qué muestra.

Con los índices estacionales calculados en la lección (T1: 0,968; T2: 0,903; T3: 0,835; T4: 1,290) y la tendencia extrapolada, Marta te pide la previsión de ventas online para T3-2026. La última media móvil centrada era 4,875 (en T2-2025) y la tendencia crece 0,11 millones por trimestre. Calcula la previsión y compárala con la del naïve estacional (T3-2025 = 4,2).

Dos métodos predijeron las entregas diarias de la última semana. Los errores absolutos del método A fueron 12, 8, 15, 10, 5 pedidos; los del método B, 2, 3, 40, 2, 3. Calcula el MAE de cada uno, decide con cuál te quedarías y justifica qué matiz importante revela mirar los errores uno a uno.

Ejercicio 1.

• \(MM_3(2) = (12+18+15)/3 = 15{,}0\)
• \(MM_3(3) = (18+15+21)/3 = 18{,}0\)
• \(MM_3(4) = (15+21+24)/3 = 20{,}0\)

La serie suavizada (15, 18, 20) muestra un crecimiento limpio de unas 2.500 unidades semanales: la campaña navideña del turrón está arrancando. Error frecuente: calcular la media móvil "hacia atrás" (semanas 1-2-3 asignada a la semana 3) — es válido para monitorización en tiempo real, pero la versión centrada estima mejor la tendencia; sea cual sea la convención, hay que declararla y mantenerla.

Ejercicio 2.

De T2-2025 a T3-2026 hay 5 trimestres: tendencia \(\approx 4{,}875 + 5 \times 0{,}11 = 5{,}425\). Aplicando el índice de T3: \(\hat{y} = 5{,}425 \times 0{,}835 \approx 4{,}53\) millones. El naïve estacional diría 4,2 (repetir T3-2025); el método con estructura añade el crecimiento tendencial: unos 330.000 € más. Error frecuente: olvidar aplicar el índice estacional y entregar 5,43 como previsión — sobreestimarías el verano en más de un 19 %; el orden correcto es siempre tendencia primero, índice después.

Ejercicio 3.

\(MAE_A = (12+8+15+10+5)/5 = 10\) pedidos; \(MAE_B = (2+3+40+2+3)/5 = 10\) pedidos. Empatan en MAE, pero son métodos muy distintos: A se equivoca de forma moderada y estable; B clava casi todos los días pero un día falló estrepitosamente (¿un festivo que el método no contempla?). Para planificar repartidores día a día, B es mejor si se corrige su punto ciego; si los fallos grandes son costosos (SLA incumplido — recuerda que un 13 % de entregas ya sale fuera de SLA), la estabilidad de A puede valer más. Moraleja: el MAE resume, pero no sustituye a mirar la distribución de los errores — la misma lección que la media aprendió de la mediana en el Módulo 2.

Has aprendido a tratar los datos cuando el tiempo entra en juego: descomponer una serie en tendencia, estacionalidad, ciclo y ruido; elegir entre descomposición aditiva y multiplicativa según la amplitud de las oscilaciones; suavizar con medias móviles y alisado exponencial; construir una predicción con tendencia e índices estacionales que batió con claridad al método naïve (MAPE del 1,8 % frente al 9,1 %); y leer la autocorrelación como la "memoria" de la serie, con los ARIMA apuntados como siguiente nivel. Marta ya tiene su cifra para Navidad: unos 7,1 millones de € en el T4-2026.

Pero fíjate en que toda la lección ha girado sobre una sola variable avanzando en el tiempo. En la práctica, las preguntas de NovaMarket rara vez son univariantes: las ventas de una tienda dependen a la vez de su superficie, del tráfico peatonal de su calle y de la renta del barrio; la baja de un socio del Club Nova depende de su edad, su gasto y su actividad. Manejar varias variables a la vez — regresión múltiple, regresión logística, componentes principales, clusters — es el terreno del Análisis Multivariante.