En las dos lecciones anteriores trabajamos con sucesos descritos con palabras: «el ticket se paga con tarjeta», «el pedido llega tarde». Pero el análisis de datos gana potencia cuando el azar se traduce a números: en lugar de preguntarnos por un suceso concreto, describimos de una sola vez todas las probabilidades de todos los valores posibles de una cantidad incierta. Ese objeto se llama variable aleatoria, y su «carné de identidad» es su distribución de probabilidad. En esta lección aprenderás a distinguir variables aleatorias discretas y continuas, a leer y construir la tabla de distribución de una discreta, a calcular su esperanza y su varianza (con una aplicación de negocio directa: decidir si una promoción del Club Nova es rentable), y a entender qué son la función de densidad y la función de distribución en el caso continuo — sin integrales, con la intuición del histograma. Cerramos con la idea que da nombre al Módulo 4: los modelos de distribución como plantillas reutilizables.

1. Qué es una variable aleatoria; discretas vs continuas
2. La función de masa de probabilidad y la tabla de distribución
3. Esperanza matemática: el valor medio a largo plazo
4. Varianza y desviación típica de una variable aleatoria
5. El valor esperado como criterio de decisión: la promoción del Club Nova
6. Variables continuas: función de densidad y función de distribución acumulada
7. Modelos de distribución: plantillas para el azar

Una variable aleatoria (v.a.) es una regla que asigna un número al resultado de un experimento aleatorio. Se denota con mayúsculas (\( X, Y, Z \)) y sus valores concretos con minúsculas (\( x, y, z \)). Antes de realizar el experimento, \( X \) es incierta; después, toma un valor concreto.

La clasificación replica la de los tipos de datos del Módulo 1, ahora con probabilidades:

• Discreta: sus valores posibles se pueden enumerar (finitos o infinitos numerables). Suele nacer de contar.
• Continua: puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Suele nacer de medir (importes, tiempos, pesos).

La distinción importa porque las herramientas matemáticas son distintas: a una discreta se le asigna probabilidad valor a valor; a una continua, por intervalos.

Para una v.a. discreta \( X \), la función de masa de probabilidad (f.m.p.) asigna a cada valor posible su probabilidad:

\[ p(x) = P(X = x) \]

Debe cumplir dos condiciones (herencia directa de los axiomas de Kolmogórov): \( p(x) \geq 0 \) para todo \( x \), y \( \sum_x p(x) = 1 \). En la práctica se presenta como una tabla de distribución.

Ejemplo NovaMarket: bolsas reutilizables. En caja se ofrecen bolsas reutilizables a 1 €. Analizando millones de tickets, el equipo de Marta estima las probabilidades del número de bolsas \( X \) que compra un cliente:

Comprobación: \( 0{,}60 + 0{,}25 + 0{,}10 + 0{,}05 = 1 \). ✔ Nota el paralelismo con el Módulo 2: esta tabla es como una tabla de frecuencias relativas, pero describe probabilidades de lo que ocurrirá, no frecuencias de lo ya observado. El enfoque frecuentista de la lección 03-01 es el puente entre ambas.

De la tabla se extrae la probabilidad de cualquier suceso sobre \( X \) sumando los valores que lo componen:

• \( P(X \geq 1) = 0{,}25 + 0{,}10 + 0{,}05 = 0{,}40 \) — o mejor, por el complementario: \( 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}60 = 0{,}40 \).
• \( P(1 \leq X \leq 2) = 0{,}25 + 0{,}10 = 0{,}35 \).

La esperanza (o valor esperado) de una v.a. discreta es la media de sus valores posibles ponderada por sus probabilidades:

\[ E(X) = \mu = \sum_x x \cdot p(x) \]

Es la extensión natural de la media ponderada del Módulo 2, con las probabilidades como pesos. Interpretación clave: es el valor medio a largo plazo, lo que obtendríamos por término medio si el experimento se repitiera muchísimas veces. No es «el valor más probable» ni tiene por qué ser un valor posible.

Con las bolsas:

\[ E(X) = 0 \times 0{,}60 + 1 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}10 + 3 \times 0{,}05 = 0 + 0{,}25 + 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}60 \text{ bolsas} \]

Ningún cliente compra 0,6 bolsas, pero el dato es oro para operaciones: con unos 2.000 clientes diarios en Madrid-Centro, cabe esperar vender alrededor de \( 2.000 \times 0{,}60 = 1.200 \) bolsas al día — la base del pedido de reposición.

Dos propiedades útiles (sin demostración): si \( a \) y \( b \) son constantes, \( E(aX + b) = a,E(X) + b \). Por ejemplo, si cada bolsa deja 0,40 € de margen, el margen por cliente es la v.a. \( 0{,}40 \cdot X \), con esperanza \( 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24 \) €.

Igual que en el Módulo 2 la media necesitaba a la desviación típica, la esperanza necesita una medida de dispersión. La varianza de una v.a. mide cuánto se alejan sus valores de la esperanza, en promedio ponderado por probabilidades:

\[ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_x (x - \mu)^2 , p(x) \qquad \sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} \]

Cálculo paso a paso con las bolsas (\( \mu = 0{,}60 \)):

\[ \operatorname{Var}(X) = 0{,}74 \qquad \sigma = \sqrt{0{,}74} \approx 0{,}86 \text{ bolsas} \]

Lectura: el número de bolsas por cliente fluctúa típicamente en ±0,86 alrededor de 0,60. Fíjate en que aquí usamos \( \sigma \) (parámetro del modelo), no \( s \): no estamos estimando a partir de una muestra dividiendo entre \( n-1 \), sino calculando la dispersión teórica de la distribución. La \( s \) muestral del Módulo 2 es la estimación empírica de esta \( \sigma \) teórica.

Aquí la teoría se convierte en dinero. Retomemos el hilo del ejercicio de retención de la lección anterior, ahora con una campaña ofensiva: Marta valora enviar un cupón de 5 € de descuento en compras superiores a 40 € a los 380.000 socios del Club Nova. Datos estimados por el equipo (a partir de campañas piloto):

• Coste de emisión y comunicación por cupón enviado: 0,30 €.
• Probabilidad de que un socio canjee el cupón: 0,18.
• Si canjea, la compra asociada deja un margen bruto medio de 7,50 € (ya descontados los 5 € del cupón); un 60 % de esos canjes se estima que son ventas incrementales (no habrían ocurrido sin cupón), y el 40 % restante habría ocurrido igualmente, con lo que el cupón les resta margen: en esos casos el efecto neto es de −2,10 €.

Definimos \( G \) = ganancia neta por cupón enviado. Su tabla de distribución (aplicando la regla del producto de la lección anterior para las ramas del canje):

Comprobación: \( 0{,}82 + 0{,}108 + 0{,}072 = 1 \). ✔ Esperanza:

\[ E(G) = (-0{,}30)(0{,}82) + (7{,}20)(0{,}108) + (-2{,}40)(0{,}072) = -0{,}246 + 0{,}7776 - 0{,}1728 \approx 0{,}36 \text{ €} \]

Cada cupón enviado vale, en promedio, unos +0,36 €. Sobre 380.000 socios, la campaña tiene un resultado esperado de \( 380.000 \times 0{,}36 \approx 136.800 \) €: adelante. Tres observaciones de analista:

1. La mayoría de los cupones (82 %) pierden dinero individualmente; la campaña es rentable porque los canjes incrementales compensan de sobra. Decidir por el caso más probable en vez de por el valor esperado habría matado una campaña rentable.
2. El valor esperado es fiable aquí porque se aplicará muchas veces (380.000 envíos): la ley de los grandes números garantiza que el resultado real quedará cerca del esperado. Para una decisión única e irrepetible, el valor esperado sigue siendo orientativo, pero la dispersión y la tolerancia al riesgo pesan más.
3. La conclusión es sensible a las estimaciones (el 0,18 y el 60 % incremental salen de pilotos, es decir, de muestras). Cuánta confianza merecen esas estimaciones es exactamente el tema del Módulo 5.

Para una v.a. continua como \( T \) = «horas hasta la entrega de un pedido», preguntar \( P(T = 25{,}5) \) no tiene sentido útil: entre infinitos valores posibles con decimales ilimitados, la probabilidad de cualquier valor exacto es 0. Con las continuas se pregunta siempre por intervalos: \( P(T < 48) \), \( P(24 \leq T \leq 36) \).

La herramienta es la función de densidad \( f(x) \): una curva tal que la probabilidad de un intervalo es el área bajo la curva sobre ese intervalo. Intuición desde el Módulo 2: imagina el histograma de los tiempos de entrega con barras cada vez más finas (a medida que acumulamos más y más pedidos); la silueta a la que tiende ese histograma es la densidad. Propiedades:

• \( f(x) \geq 0 \) (la curva no baja del eje).
• El área total bajo la curva es 1 (el suceso seguro).
• \( f(x) \) no es una probabilidad: puede valer más de 1 en zonas estrechas; solo las áreas son probabilidades.

Su compañera es la función de distribución acumulada (F.d.a.):

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

que acumula el área desde la izquierda hasta \( x \). Es la versión teórica de los porcentajes acumulados y percentiles del Módulo 2, y existe también para discretas (donde sube a saltos). Con ella, cualquier intervalo se resuelve restando:

\[ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \]

Ejemplo NovaMarket. Del análisis de entregas sabemos que la mediana es 25,5 h y que el SLA exige el 90 % en menos de 48 h. En lenguaje de F.d.a.: \( F(25{,}5) = 0{,}50 \) (la mediana es el punto que acumula el 50 %) y el objetivo es \( F(48) \geq 0{,}90 \). Si además \( F(24) = 0{,}45 \), entonces:

\[ P(24 < T \leq 48) = F(48) - F(24) = 0{,}90 - 0{,}45 = 0{,}45 \]

El 45 % de los pedidos se entregan entre las 24 y las 48 horas. Observa que trabajamos con probabilidades de \( T \) sin conocer la fórmula de su densidad: leyendo la acumulada. En el Módulo 4, cuando la densidad tenga una forma conocida (la campana normal), \( F \) vendrá tabulada y este juego de restas será nuestra rutina diaria.

La tabla de las bolsas la construimos empíricamente, valor a valor. Pero muchas situaciones de azar repiten patrones estructurales idénticos aunque cambien los números:

• «Repito \( n \) veces un experimento con dos resultados (canjea/no canjea, tarjeta/no tarjeta) y cuento los éxitos» — sea con cupones, con pagos o con entregas dentro del SLA.
• «Cuento cuántos eventos ocurren en un intervalo de tiempo (pedidos por hora, reclamaciones por día)».
• «Mido una magnitud que resulta de sumar muchos pequeños efectos independientes (venta diaria de una tienda)».

Para estos patrones, la estadística ofrece modelos de distribución: familias de distribuciones con fórmula conocida, gobernadas por unos pocos parámetros que se ajustan a cada caso concreto. En vez de estimar una tabla entera con datos, basta identificar el patrón, fijar los parámetros (por ejemplo, \( n = 380.000 \) envíos y probabilidad de canje \( \pi = 0{,}18 \)) y el modelo entrega gratis todas las probabilidades, la esperanza y la varianza. Son plantillas reutilizables y contrastadas: el equivalente estadístico de no rediseñar la rueda en cada análisis.

Los tres patrones de la lista tienen nombre propio — binomial, Poisson y normal — y son exactamente el contenido del Módulo 4. La distinción del Módulo 1 entre parámetro y estadístico culmina aquí: los parámetros de estos modelos (\( \mu, \sigma, \pi \)) son los que luego, en el Módulo 5, aprenderemos a estimar a partir de muestras.

• Confundir la esperanza con «el valor más probable». \( E(X) = 0{,}6 \) bolsas y el valor más probable es 0. La esperanza es un promedio a largo plazo; puede ser un valor imposible de observar en un caso individual.
• Olvidar comprobar que las probabilidades suman 1 antes de calcular nada con una tabla de distribución. Es la comprobación más barata y la que más errores caza (incluidos los de ramas de árbol mal multiplicadas).
• Restar el coste solo en algunos escenarios. En la promoción, los 0,30 € se pagan siempre, canjee o no el socio. Repartir mal costes fijos entre escenarios es el error contable más común en tablas de ganancia.
• Interpretar la densidad como probabilidad. \( f(x) = 1{,}3 \) no significa «probabilidad 130 %»; las probabilidades de una continua son áreas, y \( P(X = x) = 0 \) para cualquier valor exacto.
• Descuidar los signos «≤» y «<». En continuas da igual (\( P(X \leq 48) = P(X < 48) \) porque el punto exacto pesa 0), pero en discretas no: \( P(X < 2) = P(X \leq 1) \neq P(X \leq 2) \).
• Decidir solo por el valor esperado ignorando la dispersión. Dos campañas con la misma \( E(G) \) pueden tener riesgos muy distintos; acompaña siempre la esperanza de la desviación típica, igual que en el Módulo 2 acompañábamos la media con \( s \).

Ejercicio 1. En la caja rápida de Valencia-Ruzafa, el número \( X \) de artículos rechazados por el escáner en un ticket tiene esta distribución: \( P(X=0) = 0{,}70 \), \( P(X=1) = 0{,}20 \), \( P(X=2) = 0{,}08 \), \( P(X=3) = a \). (a) Halla \( a \). (b) Calcula \( P(X \geq 1) \) y \( P(X < 2) \). (c) Calcula \( E(X) \), \( \operatorname{Var}(X) \) y \( \sigma \).

Ejercicio 2. NovaMarket estudia un seguro de entrega para pedidos online por 1,50 €: si el pedido supera las 48 h, el cliente recibe un vale de 10 €. Con los datos actuales, la probabilidad de superar las 48 h es 0,101 (calculada en la lección anterior). Sea \( G \) la ganancia de NovaMarket por seguro vendido. (a) Construye la tabla de distribución de \( G \). (b) Calcula \( E(G) \) e interpreta el resultado. (c) ¿Qué probabilidad de retraso haría que el seguro dejara de ser rentable?

Ejercicio 3. Para el tiempo de entrega \( T \) (en horas) se sabe que \( F(11) = 0{,}10 \), \( F(25{,}5) = 0{,}50 \), \( F(36) = 0{,}75 \) y \( F(48) = 0{,}899 \). (a) Calcula \( P(11 < T \leq 36) \) e interpreta qué tiene que ver con el IQR de 11 h... ¿cuadra con lo que sabías del Módulo 2? (b) Calcula \( P(T > 48) \). ¿Cumple NovaMarket su SLA? (c) ¿Por qué no preguntamos por \( P(T = 25{,}5) \)?

Solución 1. (a) Las probabilidades deben sumar 1: \( a = 1 - 0{,}70 - 0{,}20 - 0{,}08 = 0{,}02 \). (b) \( P(X \geq 1) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30 \); \( P(X < 2) = P(X \leq 1) = 0{,}70 + 0{,}20 = 0{,}90 \). (c) \( E(X) = 0(0{,}70) + 1(0{,}20) + 2(0{,}08) + 3(0{,}02) = 0{,}42 \). Varianza: \( (0-0{,}42)^2(0{,}70) + (1-0{,}42)^2(0{,}20) + (2-0{,}42)^2(0{,}08) + (3-0{,}42)^2(0{,}02) = 0{,}1235 + 0{,}0673 + 0{,}1997 + 0{,}1332 \approx 0{,}524 \); \( \sigma \approx 0{,}72 \) artículos. Error frecuente: en (b), tratar \( P(X<2) \) como \( P(X \leq 2) \) — en discretas el borde importa.

Solución 2. (a) Dos escenarios: llega a tiempo (probabilidad 0,899): NovaMarket ingresa 1,50 €; llega tarde (0,101): ingresa 1,50 € pero paga el vale, ganancia \( 1{,}50 - 10 = -8{,}50 \) €. Tabla: \( P(G = 1{,}50) = 0{,}899 \), \( P(G = -8{,}50) = 0{,}101 \). (b) \( E(G) = 1{,}50 \times 0{,}899 + (-8{,}50) \times 0{,}101 = 1{,}3485 - 0{,}8585 = 0{,}49 \) €: cada seguro vendido deja de media unos 49 céntimos; a gran escala, el producto es rentable (aunque, matiz de negocio, un vale de 10 € no es un coste puro de 10 € si se gasta en productos con margen — el cálculo prudente lo trata como coste completo). (c) Buscamos \( p \) tal que \( E(G) = 1{,}50 - 10p = 0 \Rightarrow p = 0{,}15 \). Si el retraso superara el 15 %, el seguro perdería dinero: la rentabilidad del producto depende de mantener la operativa logística. Error frecuente: escribir la ganancia del escenario malo como −10 € olvidando que el 1,50 € se cobra siempre.

Solución 3. (a) \( P(11 < T \leq 36) = F(36) - F(11) = 0{,}75 - 0{,}10 = 0{,}65 \). El IQR del Módulo 2 iba del percentil 25 al 75; aquí el tramo va del percentil 10 al 75, por eso acumula el 65 % y no el 50 %: cuadra, pero no es el IQR (comparar percentiles concretos evita confusiones). (b) \( P(T > 48) = 1 - F(48) = 1 - 0{,}899 = 0{,}101 \): el 89,9 % llega dentro de plazo, una décima por debajo del SLA del 90 % — coherente con el análisis de transportistas de la lección anterior, y argumento para renegociar con RápidoSur. (c) Porque \( T \) es continua: la probabilidad de un valor exacto es 0; lo informativo es \( F(25{,}5) = 0{,}50 \), que identifica 25,5 h como la mediana. Retroalimentación: si en (b) respondiste 0,899, relee el enunciado — se pedía la cola derecha; dibujar la curva y sombrear el área pedida antes de calcular evita este despiste.

Hemos dado el salto de los sucesos a los números: una variable aleatoria resume un experimento en una cantidad, y su distribución de probabilidad — tabla y f.m.p. en las discretas, densidad y acumulada en las continuas — contiene todo lo que se puede saber sobre ella antes de observar el resultado. La esperanza \( E(X) \) nos da el valor medio a largo plazo (y con él, el criterio de valor esperado que convirtió la promoción del Club Nova en una decisión calculada de +136.800 €), y la varianza \( \sigma^2 \) mide el riesgo alrededor de esa media, espejo teórico de la \( s \) muestral del Módulo 2.

Y quedó plantada la idea decisiva: muchos fenómenos de azar siguen patrones repetidos que no hace falta modelar desde cero, porque existen plantillas con nombre y apellidos. En el Módulo 4 las conoceremos una a una, empezando por la más natural para NovaMarket: contar éxitos en \( n \) intentos independientes — cuántos de los 380.000 cupones se canjean, cuántos de los próximos 20 tickets se pagan con tarjeta. Es la Distribución Binomial, la primera plantilla de nuestra caja de herramientas.