En este tema, aprenderemos sobre las reglas fundamentales de la probabilidad, que son esenciales para entender cómo se calculan las probabilidades de eventos simples y compuestos. Estas reglas nos permiten manejar situaciones donde hay incertidumbre y tomar decisiones informadas basadas en datos.

1. Evento: Un resultado o un conjunto de resultados de un experimento.
2. Espacio Muestral (S): El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
3. Probabilidad de un Evento (P(E)): La medida de la posibilidad de que ocurra un evento, que varía entre 0 y 1.

La regla de la suma se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos. Existen dos versiones de esta regla: una para eventos mutuamente excluyentes y otra para eventos no mutuamente excluyentes.

Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Fórmula: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado. La probabilidad de obtener un 2 o un 5 es: \[ P(2 \cup 5) = P(2) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Eventos No Mutuamente Excluyentes

Dos eventos no son mutuamente excluyentes si pueden ocurrir al mismo tiempo.

Fórmula: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Ejemplo: Supongamos que seleccionamos una carta de una baraja estándar. La probabilidad de que sea un corazón o una figura (J, Q, K) es: \[ P(\text{corazón} \cup \text{figura}) = P(\text{corazón}) + P(\text{figura}) - P(\text{corazón} \cap \text{figura}) \] \[ P(\text{corazón}) = \frac{13}{52}, \quad P(\text{figura}) = \frac{12}{52}, \quad P(\text{corazón} \cap \text{figura}) = \frac{3}{52} \] \[ P(\text{corazón} \cup \text{figura}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \]

La regla del producto se utiliza para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. Existen dos versiones de esta regla: una para eventos independientes y otra para eventos dependientes.

Eventos Independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

Fórmula: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Ejemplo: Supongamos que lanzamos dos monedas. La probabilidad de obtener cara en ambas monedas es: \[ P(\text{cara en la primera moneda} \cap \text{cara en la segunda moneda}) = P(\text{cara en la primera moneda}) \times P(\text{cara en la segunda moneda}) \] \[ P(\text{cara en la primera moneda}) = \frac{1}{2}, \quad P(\text{cara en la segunda moneda}) = \frac{1}{2} \] \[ P(\text{cara en la primera moneda} \cap \text{cara en la segunda moneda}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Eventos Dependientes

Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro.

Fórmula: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \]

Ejemplo: Supongamos que seleccionamos dos cartas de una baraja estándar sin reemplazo. La probabilidad de que ambas sean ases es: \[ P(\text{primer as} \cap \text{segundo as}) = P(\text{primer as}) \times P(\text{segundo as}|\text{primer as}) \] \[ P(\text{primer as}) = \frac{4}{52}, \quad P(\text{segundo as}|\text{primer as}) = \frac{3}{51} \] \[ P(\text{primer as} \cap \text{segundo as}) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \]

La regla del complemento se utiliza para calcular la probabilidad de que un evento no ocurra.

Fórmula: \[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

Ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado. La probabilidad de no obtener un 6 es: \[ P(\text{no 6}) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Supongamos que lanzamos un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y cara en la moneda?

Solución: \[ P(\text{par} \cap \text{cara}) = P(\text{par}) \times P(\text{cara}) \] \[ P(\text{par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(\text{cara}) = \frac{1}{2} \] \[ P(\text{par} \cap \text{cara}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

En una baraja estándar, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar una carta que sea un rey o un corazón?

Solución: \[ P(\text{rey} \cup \text{corazón}) = P(\text{rey}) + P(\text{corazón}) - P(\text{rey} \cap \text{corazón}) \] \[ P(\text{rey}) = \frac{4}{52}, \quad P(\text{corazón}) = \frac{13}{52}, \quad P(\text{rey} \cap \text{corazón}) = \frac{1}{52} \] \[ P(\text{rey} \cup \text{corazón}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \]

Si seleccionamos dos bolas de una urna que contiene 3 bolas rojas y 2 bolas azules sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?

Solución: \[ P(\text{primera roja} \cap \text{segunda roja}) = P(\text{primera roja}) \times P(\text{segunda roja}|\text{primera roja}) \] \[ P(\text{primera roja}) = \frac{3}{5}, \quad P(\text{segunda roja}|\text{primera roja}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ P(\text{primera roja} \cap \text{segunda roja}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \]

En esta sección, hemos aprendido las reglas fundamentales de la probabilidad, incluyendo la regla de la suma, la regla del producto y la regla del complemento. Estas reglas son herramientas esenciales para calcular la probabilidad de eventos simples y compuestos. Asegúrate de practicar con diferentes problemas para fortalecer tu comprensión de estos conceptos.

En el próximo tema, exploraremos las distribuciones de probabilidad, que nos permitirán modelar y analizar datos de manera más avanzada.