En la lección anterior aprendimos a asignar probabilidades a sucesos aislados: la probabilidad de que un ticket se pague con tarjeta es 0,61; la de que una respuesta de la encuesta sea de un cliente satisfecho, 0,712. Pero las preguntas que Marta lleva al comité combinan sucesos: «¿qué porcentaje de respuestas son de la app y además insatisfechas?», «sabiendo que un pedido llegó tarde, ¿qué transportista lo llevaba probablemente?». Esta lección presenta las herramientas para calcular probabilidades combinadas: la regla de la suma, la probabilidad condicionada, la regla del producto, la distinción entre independencia e incompatibilidad (fuente del error más clásico de todo el curso), y dos resultados que valen su peso en oro en la empresa: el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Como herramientas de trabajo usaremos tablas de contingencia y diagramas de árbol.

1. La regla de la suma (con y sin incompatibilidad)
2. Probabilidad condicionada
3. La regla del producto
4. Independencia vs dependencia (y por qué no es lo mismo que incompatibilidad)
5. Tablas de contingencia: canal × satisfacción
6. Diagramas de árbol y el teorema de la probabilidad total
7. El teorema de Bayes y la falacia de la tasa base: fraude en pedidos online

Queremos \( P(A \cup B) \): la probabilidad de que ocurra \( A \), \( B \) o ambos.

Caso fácil: sucesos incompatibles. Si \( A \cap B = \varnothing \), basta sumar (es el tercer axioma de Kolmogórov):

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Ejemplo: probabilidad de que un euro de venta sea de fresca o de bebidas: \( 0{,}38 + 0{,}14 = 0{,}52 \).

Caso general: sucesos compatibles. Si \( A \) y \( B \) pueden coincidir, sumar sus probabilidades cuenta la intersección dos veces (una dentro de \( P(A) \) y otra dentro de \( P(B) \)), así que hay que restarla una vez:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Ejemplo NovaMarket: elegimos un ticket al azar. El 61 % de los tickets se pagan con tarjeta (\( P(T)=0{,}61 \)), el 45 % incluyen algún producto fresco (\( P(F)=0{,}45 \) — ojo, esto es una proporción de tickets, no la cuota del 38 % sobre euros de venta que vimos en el Módulo 2), y el 29 % cumplen ambas cosas a la vez (\( P(T \cap F)=0{,}29 \)). Entonces:

\[ P(T \cup F) = 0{,}61 + 0{,}45 - 0{,}29 = 0{,}77 \]

El 77 % de los tickets se pagan con tarjeta, llevan producto fresco, o ambas cosas. Si hubiéramos sumado sin restar habríamos obtenido 1,06 — una probabilidad mayor que 1, señal inequívoca de que algo se contó dos veces.

La probabilidad condicionada \( P(A \mid B) \) — se lee «probabilidad de A dado B» — es la probabilidad de \( A \) sabiendo que \( B \) ha ocurrido. La información recorta el espacio muestral: ya no consideramos todos los resultados posibles, solo aquellos en los que \( B \) ocurre.

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{(siempre que } P(B) > 0\text{)} \]

La intuición: de la «tarta» de casos en los que ocurre \( B \), ¿qué porción corresponde también a \( A \)?

Ejemplo rápido: con los tickets de antes, ¿qué probabilidad hay de que un ticket lleve producto fresco sabiendo que se pagó con tarjeta?

\[ P(F \mid T) = \frac{P(F \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}29}{0{,}61} \approx 0{,}475 \]

Entre los tickets con tarjeta, el 47,5 % llevan fresco — algo más que el 45 % general. Condicionar cambia la probabilidad porque cambia la población de referencia. Fíjate también en que el orden importa: \( P(F \mid T) = 0{,}475 \) no es lo mismo que \( P(T \mid F) = 0{,}29/0{,}45 \approx 0{,}644 \). Confundir \( P(A \mid B) \) con \( P(B \mid A) \) es un error tan frecuente que tiene nombre (falacia de la condicional traspuesta) y volveremos a él con el teorema de Bayes.

Despejando de la definición anterior obtenemos la regla del producto, que sirve para calcular la probabilidad de que dos sucesos ocurran a la vez:

\[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]

Ejemplo: el 20 % de las respuestas de la encuesta llegan por online (\( P(O) = 0{,}20 \)) y, entre ellas, el 62,5 % son de satisfechos (\( P(S \mid O) = 0{,}625 \), lo justificaremos con la tabla de contingencia). Probabilidad de que una respuesta al azar sea «online y satisfecho»:

\[ P(O \cap S) = 0{,}20 \times 0{,}625 = 0{,}125 \]

Dos sucesos son independientes cuando saber que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad del otro:

\[ A \text{ y } B \text{ independientes} \iff P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Si condicionar cambia la probabilidad, los sucesos son dependientes (lo que no implica causalidad: solo asociación, matiz que desarrollaremos en el análisis de correlación).

• En el ejemplo de los tickets, \( P(F) = 0{,}45 \) pero \( P(F \mid T) = 0{,}475 \): pagar con tarjeta y llevar fresco son (ligeramente) dependientes.
• En cambio, si la probabilidad de que un pedido online llegue tarde es la misma los lunes que cualquier otro día, «llegar tarde» y «ser lunes» son independientes.

El error clásico: confundir independencia con incompatibilidad. Son ideas casi opuestas:

Si \( A \) y \( B \) son incompatibles y ocurre \( B \), la probabilidad de \( A \) pasa a ser 0: la información de \( B \) lo cambia todo. Máxima dependencia, no independencia.

Cuando cruzamos dos variables cualitativas, la tabla de contingencia convierte todos los cálculos anteriores en simples divisiones. Marta cruza las 640 respuestas de la encuesta por canal y por nivel de satisfacción (satisfecho = nota ≥ 8):

Comprobación: \( 456/640 = 0{,}7125 \approx 71{,}2,% \) de satisfechos, coherente con el Módulo 2. De la tabla salen directamente los tres tipos de probabilidad:

• Conjunta (celda / total global): \( P(\text{Online} \cap \text{Satisfecho}) = 80/640 = 0{,}125 \).
• Marginal (margen / total global): \( P(\text{Online}) = 128/640 = 0{,}20 \).
• Condicionada (celda / total de su fila o columna): \( P(\text{Satisfecho} \mid \text{Online}) = 80/128 = 0{,}625 \).

Y la pregunta de independencia se responde comparando condicionadas con marginales:

\[ P(\text{Satisfecho} \mid \text{Tienda}) = \frac{336}{448} = 0{,}75 \qquad P(\text{Satisfecho} \mid \text{Online}) = 0{,}625 \qquad P(\text{Satisfecho} \mid \text{App}) = \frac{40}{64} = 0{,}625 \]

Como no coinciden con la marginal \( P(\text{Satisfecho}) = 0{,}7125 \), canal y satisfacción son dependientes: la satisfacción es más alta en tienda que en los canales digitales, en línea con las medias que ya conocíamos (8,3 / 7,6 / 7,9). Si esa dependencia es «estadísticamente significativa» o atribuible al azar muestral es otra pregunta, que responderá el test chi-cuadrado mucho más adelante.

Cuando el experimento ocurre en etapas (primero una cosa, luego otra), el diagrama de árbol es la herramienta natural: cada rama lleva su probabilidad, las ramas que salen de un mismo nudo suman 1, y la probabilidad de un camino completo es el producto de sus ramas (regla del producto en acción).

Caso NovaMarket: entregas e-commerce. NovaMarket reparte sus pedidos online con dos transportistas: LogiExpress mueve el 70 % de los envíos y entrega tarde (fuera del SLA de 48 h) el 8 % de las veces; RápidoSur mueve el 30 % restante y llega tarde el 15 % de las veces.

¿Qué probabilidad tiene un pedido cualquiera de llegar tarde? Un pedido tarde llega por uno de dos caminos incompatibles (tarde con LogiExpress, o tarde con RápidoSur), así que sumamos los caminos:

\[ P(\text{Tarde}) = P(L),P(\text{Tarde} \mid L) + P(S),P(\text{Tarde} \mid S) = 0{,}70 \times 0{,}08 + 0{,}30 \times 0{,}15 = 0{,}056 + 0{,}045 = 0{,}101 \]

Esto es el teorema de la probabilidad total: si \( B_1, B_2, \dots, B_k \) forman una partición del espacio muestral (incompatibles entre sí y cubriéndolo todo),

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_i),P(A \mid B_i) \]

Es una media ponderada de las condicionadas, con las probabilidades de los escenarios como pesos — la misma lógica de la media ponderada que vimos en el Módulo 2. Resultado de negocio: un 10,1 % de pedidos tarde significa un cumplimiento del SLA del 89,9 %, justo por debajo del objetivo «90 % en < 48 h». Marta quiere saber dónde apretar, y para eso necesita darle la vuelta a la pregunta.

Hasta ahora razonamos «hacia delante»: del transportista al retraso. El teorema de Bayes permite razonar «hacia atrás»: observado el efecto (el pedido llegó tarde), ¿qué probabilidad tiene cada causa (cada transportista)?

\[ P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i),P(A \mid B_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i),P(A \mid B_i)}{\sum_j P(B_j),P(A \mid B_j)} \]

El numerador es el camino del árbol que nos interesa; el denominador, la probabilidad total (todos los caminos que producen \( A \)).

Aplicación al reparto: un cliente llama porque su pedido llegó tarde. ¿Probabilidad de que lo llevara RápidoSur?

\[ P(S \mid \text{Tarde}) = \frac{0{,}30 \times 0{,}15}{0{,}101} = \frac{0{,}045}{0{,}101} \approx 0{,}446 \]

RápidoSur solo mueve el 30 % de los pedidos, pero está detrás del 44,6 % de los retrasos: la información «llegó tarde» casi duplica su probabilidad (de 0,30 a priori a 0,446 a posteriori). Ese es exactamente el tipo de actualización de creencias que Bayes formaliza.

El equipo de e-commerce estrena un sistema antifraude. Datos del problema:

• El 0,5 % de los pedidos online son fraudulentos: \( P(\text{Fraude}) = 0{,}005 \) (la tasa base).
• Si un pedido es fraudulento, el sistema lo marca el 92 % de las veces: \( P(\text{Alerta} \mid \text{Fraude}) = 0{,}92 \) (sensibilidad).
• Si un pedido es legítimo, el sistema se equivoca y lo marca el 4 % de las veces: \( P(\text{Alerta} \mid \text{Legítimo}) = 0{,}04 \) (tasa de falsos positivos).

El sistema marca un pedido. El responsable de e-commerce exclama: «¡92 % seguro que es fraude, cancelémoslo!». Veamos qué dice Bayes. Paso 1, probabilidad total de recibir una alerta:

\[ P(\text{Alerta}) = \underbrace{0{,}005 \times 0{,}92}{\text{fraudes marcados}} + \underbrace{0{,}995 \times 0{,}04}{\text{legítimos marcados}} = 0{,}0046 + 0{,}0398 = 0{,}0444 \]

Paso 2, Bayes:

\[ P(\text{Fraude} \mid \text{Alerta}) = \frac{0{,}0046}{0{,}0444} \approx 0{,}104 \]

Solo el 10,4 % de las alertas son fraudes reales. Para verlo sin fórmulas, imagina 10.000 pedidos:

De 444 alertas, solo 46 son fraude: \( 46/444 \approx 0{,}104 \). El responsable confundió \( P(\text{Alerta} \mid \text{Fraude}) = 0{,}92 \) con \( P(\text{Fraude} \mid \text{Alerta}) = 0{,}104 \). Ignorar que el fraude es rarísimo de partida (0,5 %) se llama falacia de la tasa base: cuando el suceso buscado es raro, incluso un detector bueno genera mayoritariamente falsos positivos. Consecuencia práctica: las alertas no deben cancelar pedidos automáticamente, sino disparar una verificación adicional barata (y la nota positiva: sin alerta, \( P(\text{Fraude} \mid \text{Sin alerta}) = 4/9.556 \approx 0{,}0004 \), el sistema sí sirve para descartar).

• Sumar probabilidades de sucesos compatibles sin restar la intersección. Si el resultado supera 1, es la señal de este error. La fórmula general \( P(A)+P(B)-P(A \cap B) \) nunca falla; la versión corta solo vale con incompatibles.
• Confundir \( P(A \mid B) \) con \( P(B \mid A) \). «El 92 % de los fraudes generan alerta» no es «el 92 % de las alertas son fraude». Ante la duda, construye la tabla de 10.000 casos: hace el error imposible.
• Tratar sucesos incompatibles como independientes. Incompatibles con probabilidad positiva = dependencia extrema. Repítelo hasta interiorizarlo.
• Multiplicar \( P(A) \cdot P(B) \) sin comprobar la independencia. La regla del producto general usa \( P(A),P(B \mid A) \); el atajo \( P(A)P(B) \) solo es válido si la independencia está justificada (por diseño del proceso o verificada con datos).
• Olvidar la tasa base. Toda probabilidad a posteriori mezcla dos ingredientes: la evidencia (sensibilidad, falsos positivos) y la prevalencia a priori. Omitir la segunda infla dramáticamente el resultado.
• Consejo práctico: ante cualquier problema de probabilidad con dos variables, dibuja primero la tabla de contingencia o el árbol. El 90 % de los errores desaparecen al organizar los datos antes de calcular.

Ejercicio 1. Con la tabla de contingencia canal × satisfacción de la lección, calcula: (a) \( P(\text{App} \cup \text{Satisfecho}) \); (b) \( P(\text{No satisfecho} \mid \text{App}) \); (c) ¿son «App» y «Satisfecho» independientes? Justifícalo con números.

Ejercicio 2. En Madrid-Chamberí, el 61 % de los tickets se pagan con tarjeta. El 25 % de los tickets con tarjeta superan los 50 €, mientras que solo el 10 % de los tickets sin tarjeta superan esa cifra. (a) Dibuja mentalmente (o en papel) el árbol y calcula la probabilidad de que un ticket cualquiera supere los 50 €. (b) Un ticket supera los 50 €: ¿probabilidad de que se pagara con tarjeta?

Ejercicio 3. Marta prepara un modelo de predicción de bajas del Club Nova: el 3 % de los socios se dan de baja cada año; el modelo señala al 80 % de los que se darán de baja, pero también (incorrectamente) al 9 % de los que no. Un socio aparece señalado: ¿cuál es la probabilidad de que realmente vaya a darse de baja? ¿Merece la pena llamarle para ofrecerle un descuento de retención que cuesta 15 € si un socio retenido aporta de media 120 € al año? Razónalo.

Solución 1. (a) Regla de la suma general: \( P(\text{App}) + P(\text{S}) - P(\text{App} \cap \text{S}) = \frac{64}{640} + \frac{456}{640} - \frac{40}{640} = \frac{480}{640} = 0{,}75 \). (b) \( P(\text{No S} \mid \text{App}) = 24/64 = 0{,}375 \). (c) No: \( P(\text{S} \mid \text{App}) = 0{,}625 \neq 0{,}7125 = P(\text{S}) \). Saber que la respuesta vino de la app rebaja la probabilidad de satisfacción, luego son dependientes. Error frecuente en (a): olvidar restar los 40 satisfechos de la app, que están contados en ambos sumandos.

Solución 2. (a) Probabilidad total: \( P(>50) = 0{,}61 \times 0{,}25 + 0{,}39 \times 0{,}10 = 0{,}1525 + 0{,}039 = 0{,}1915 \), un 19,15 % de los tickets. (b) Bayes: \( P(\text{Tarjeta} \mid >50) = 0{,}1525 / 0{,}1915 \approx 0{,}796 \). Casi el 80 % de los tickets grandes van con tarjeta, frente al 61 % general: el importe alto «tira» hacia la tarjeta. Error frecuente: responder 0,25 en (b) — eso es \( P(>50 \mid \text{Tarjeta}) \), la condicional traspuesta.

Solución 3. Probabilidad total de ser señalado: \( P(\text{Señal}) = 0{,}03 \times 0{,}80 + 0{,}97 \times 0{,}09 = 0{,}024 + 0{,}0873 = 0{,}1113 \). Bayes: \( P(\text{Baja} \mid \text{Señal}) = 0{,}024/0{,}1113 \approx 0{,}216 \). Solo 1 de cada 5 señalados se dará de baja realmente — la tasa base del 3 % pesa mucho. ¿Merece la pena? Cálculo orientativo por socio señalado: coste seguro de 15 €; beneficio esperado si evita la baja ≈ \( 0{,}216 \times 120 = 25{,}92 \) € (suponiendo, simplificando, que el descuento retiene al socio). Como 25,92 € > 15 €, la llamada compensa aunque el 78 % de las llamadas «sobren». Retroalimentación: este razonamiento de «valor esperado» lo formalizaremos en la siguiente lección; y ojo con la trampa habitual de descartar el modelo «porque falla el 78 % de las veces»: con sucesos raros, la vara de medir no es el porcentaje de aciertos sino si la probabilidad a posteriori (21,6 %) mejora lo suficiente la tasa base (3 %) para actuar con rentabilidad — aquí la multiplica por 7.

Ya sabemos operar con probabilidades: la regla de la suma (restando la intersección cuando los sucesos son compatibles), la probabilidad condicionada como recorte del espacio muestral, la regla del producto para intersecciones, y la diferencia crucial entre independencia (la información no cambia nada) e incompatibilidad (la información lo cambia todo). Con las tablas de contingencia y los diagramas de árbol como soporte, el teorema de la probabilidad total nos dio la visión «hacia delante» (el 10,1 % de pedidos llega tarde) y el teorema de Bayes la visión «hacia atrás» (una alerta de fraude solo acierta el 10,4 % de las veces), con la falacia de la tasa base como advertencia permanente.

Hasta aquí hemos trabajado con sucesos descritos con palabras. El siguiente paso es traducir el azar a números: en lugar de «el pedido llega tarde», definir una variable que cuente cuántos pedidos llegan tarde o mida cuántas horas tarda cada uno, y asignar probabilidades a todos sus valores posibles de una vez. Esa es la idea de variable aleatoria, y con ella la de esperanza matemática — el fundamento del «valor esperado» que acabamos de usar en el ejercicio de retención. Lo vemos en Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad.