Este módulo te ha dado plantillas para variables individuales: un ticket, una entrega, un recuento de incidencias. Pero el trabajo diario del analista casi nunca gira alrededor de un dato individual, sino de promedios y proporciones de muestras: el ticket medio de 640 compras, el 61 % de tarjeta calculado sobre miles de tickets, el 8,1 de satisfacción sobre 640 respuestas. Aquí surge la pregunta que Marta lleva esquivando desde el Módulo 1, cuando el comité preguntó por la encuesta: si hubiéramos obtenido otras 640 respuestas, ¿habría salido otro número? ¿Cuánto puede bailar? La respuesta exige un cambio de mirada — tratar la propia media muestral como una variable aleatoria — y culmina en el resultado más importante de toda la estadística: el Teorema Central del Límite (TCL), que explica por qué la campana normal aparece por todas partes y por qué podemos fiarnos de las medias aunque los datos de partida sean asimétricos y rebeldes. Es el puente que une todo lo aprendido hasta aquí con la inferencia del Módulo 5.

1. El cambio de mirada: la media muestral es una variable aleatoria
2. La distribución muestral de la media: centro y error típico
3. El experimento conceptual: medias de tickets con muestras crecientes
4. El enunciado del TCL y su intuición
5. Calcular con el TCL: probabilidades sobre medias
6. La aproximación normal a la binomial y a las proporciones
7. El puente hacia la inferencia: la pregunta del comité, lista para responder

Hasta ahora, «la media» era un número que se calculaba y punto (Módulo 2). El cambio de mirada es este: antes de tomar la muestra, la media muestral \( \bar{X} \) es incierta — depende de qué 640 clientes contesten, de qué 100 tickets caigan en la muestra. Y una cantidad incierta con valores numéricos es, exactamente, una variable aleatoria como las del Módulo 3. Por tanto tiene su propia distribución de probabilidad, llamada distribución muestral de la media: la distribución de los valores que \( \bar{X} \) tomaría a lo largo de todas las muestras posibles.

Conviene tener el vocabulario del Módulo 1 bien afilado, porque aquí conviven tres niveles que no se deben mezclar:

Dos resultados exactos (válidos siempre que la muestra sea aleatoria y las observaciones independientes, sea cual sea la forma de la población):

\[ E(\bar{X}) = \mu \qquad\qquad \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

• El centro no se mueve: en promedio, la media muestral ni sobreestima ni subestima a \( \mu \). Las muestras «altas» y «bajas» se compensan a lo largo de todas las muestras posibles.
• La dispersión se encoge con \( \sqrt{n} \). A \( \sigma_{\bar{X}} \) se le llama error típico (o error estándar) de la media, y es el número más importante de esta lección: mide cuánto fluctúa la media muestral de una muestra a otra. Al promediar, los tickets grandes y pequeños se cancelan parcialmente, y cuanto mayor es \( n \), más eficaz es la cancelación.

Con los tickets de NovaMarket (\( \mu = 32{,}40 \), \( \sigma = 21{,}50 \)):

Fíjate en la ley de la raíz cuadrada: pasar de 100 a 400 observaciones (×4) solo reduce el error a la mitad. La precisión extra cuesta cada vez más cara — un principio que gobierna los presupuestos de todo estudio de mercado y que reaparecerá al calcular tamaños muestrales en el Módulo 5.

Recordemos algo crucial de la lección anterior: el importe del ticket no es normal — es fuertemente asimétrico a la derecha (muchos tickets pequeños, cola de carros grandes). Imaginemos ahora un experimento mental que cualquier analista puede hacer con el histórico de tickets: extraer 200 muestras aleatorias de tamaño \( n \), calcular la media de cada una, y mirar el histograma de esas 200 medias. Repetimos con \( n \) creciente. Resultados típicos del experimento:

Con \( n = 5 \) (error típico teórico \( 21{,}50/\sqrt{5} \approx 9{,}6 \) €): las 200 medias siguen siendo dispersas y con cola a la derecha — basta un carro de 150 € para disparar la media de su muestra:

Con \( n = 50 \) (error típico \( \approx 3{,}0 \) €): la distribución se estrecha alrededor de 32,40 y la asimetría casi ha desaparecido:

Con \( n = 500 \) (error típico \( \approx 0{,}96 \) €): campana estrecha, simétrica, indistinguible de una normal centrada en 32,40:

Dos fenómenos a la vez, y conviene distinguirlos: (1) la dispersión se encoge según \( \sigma/\sqrt{n} \) — eso ya lo sabíamos del apartado anterior; y (2) la forma se vuelve normal, aunque los tickets individuales no lo sean ni de lejos. Este segundo fenómeno es el contenido del teorema.

Teorema Central del Límite (enunciado práctico, sin demostración): si \( \bar{X} \) es la media de una muestra aleatoria de \( n \) observaciones independientes de una población con media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \) (finita), entonces, para \( n \) suficientemente grande,

\[ \bar{X} ;\approx; N!\left(\mu,\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

sea cual sea la forma de la distribución de la población. La aproximación mejora al crecer \( n \); la regla práctica habitual es \( n \geq 30 \), aunque con poblaciones muy asimétricas (como los tickets) conviene algo más, y si la población ya es normal, \( \bar{X} \) es exactamente normal para cualquier \( n \).

La intuición conecta con lo dicho al abrir la lección de la normal: una media es una suma de muchas contribuciones pequeñas e independientes (cada observación aporta \( x_i/n \)). Al sumar, las rarezas individuales se diluyen: para que la media de 500 tickets salga altísima no basta un carro grande — haría falta que muchos tickets fueran simultáneamente grandes, y la independencia hace ese consenso cada vez más improbable. El resultado es la campana: valores centrales fáciles de conseguir por mil caminos distintos, valores extremos que exigen coincidencias masivas.

Por eso la normal «aparece por todas partes»: ventas diarias (suma de tickets), errores de medida (suma de perturbaciones), indicadores agregados de todo tipo. El TCL es el teorema que fabrica normales a partir de casi cualquier cosa.

Con el TCL, las preguntas sobre medias muestrales se responden con la maquinaria de la lección anterior — estandarizar, tabla Z, traducir — usando el error típico en el denominador:

\[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \]

Ejemplo 1 — auditoría de una caja. Se auditarán \( n = 100 \) tickets al azar de Valencia-Ruzafa. Si la tienda se comporta como la cadena (\( \mu = 32{,}40 \), \( \sigma = 21{,}50 \)), ¿qué probabilidad hay de que la media de la muestra supere los 35 €?

1. Error típico: \( 21{,}50 / \sqrt{100} = 2{,}15 \) €.
2. Estandarizar: \( z = \dfrac{35 - 32{,}40}{2{,}15} \approx 1{,}21 \).
3. Tabla y traducción: \( P(\bar{X} > 35) = 1 - \Phi(1{,}21) = 1 - 0{,}8869 = 0{,}1131 \).

Un 11 %: una media muestral de 35 € sería alta pero no escandalosa. Nótese lo que el TCL ha regalado: los tickets no son normales, y aun así el cálculo es legítimo porque con \( n = 100 \) la media sí lo es (aproximadamente).

Ejemplo 2 — el mismo umbral con más muestra. Con \( n = 400 \): error típico \( 21{,}50/20 = 1{,}08 \) €, \( z = 2{,}60/1{,}08 \approx 2{,}41 \), y \( P(\bar{X} > 35) \approx 1 - 0{,}9920 = 0{,}008 \). El mismo desvío de 2,60 € que era rutina con 100 tickets es rareza extrema con 400: cuanto mayor la muestra, más raro es que la media se aleje de \( \mu \) por puro azar. Guarda esta frase: es el mecanismo exacto con el que funcionarán los contrastes del Módulo 5.

El TCL también cierra el círculo abierto en la primera lección del módulo: una binomial es una suma de \( n \) Bernoullis independientes, así que el TCL se le aplica de lleno. Para \( n \) grande,

\[ X \sim B(n, p) ;\approx; N!\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right) \]

Regla práctica de validez: \( np \geq 10 \) y \( n(1-p) \geq 10 \) (algunos textos admiten 5; con 10 se va sobre seguro).

Ejemplo — tickets con tarjeta a escala de tienda. De los próximos \( n = 200 \) tickets de Bilbao-Casco, ¿probabilidad de que 130 o más sean con tarjeta (\( p = 0{,}61 \))? Sumar 71 términos binomiales es inviable a mano; la aproximación lo resuelve:

1. Validez: \( np = 122 \geq 10 \) y \( n(1-p) = 78 \geq 10 \). ✔
2. Parámetros: media \( 122 \), desviación \( \sqrt{200 \times 0{,}61 \times 0{,}39} = \sqrt{47{,}58} \approx 6{,}90 \).
3. Corrección de continuidad: la binomial es discreta (escalones) y la normal continua; el suceso «\( X \geq 130 \)» se representa mejor por el área desde 129,5 (el escalón de 130 empieza ahí). Es un ajuste fino que mejora la aproximación; basta con conocerlo y aplicarlo cuando se busca precisión.
4. \( z = \dfrac{129{,}5 - 122}{6{,}90} \approx 1{,}09 \), luego \( P(X \geq 130) \approx 1 - \Phi(1{,}09) = 1 - 0{,}8621 = 0{,}1379 \).

En términos de proporciones, que es como se comunican estos resultados, dividir entre \( n \) da directamente la distribución muestral de la proporción \( \hat{p} \):

\[ \hat{p} ;\approx; N!\left(p,\ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right) \]

Con \( n = 200 \) y \( p = 0{,}61 \): error típico \( \sqrt{0{,}61 \times 0{,}39 / 200} \approx 0{,}0345 \). Es decir: el «61 % de tarjeta» medido sobre 200 tickets fluctúa típicamente ±3,5 puntos porcentuales de muestra a muestra — y sobre 2.000 tickets, solo ±1,1 puntos. La proporción es una media disfrazada (media de unos y ceros), así que hereda toda la teoría de esta lección, incluida la ley de la raíz cuadrada.

Volvamos a la pregunta que abrió el curso. La encuesta de satisfacción: 2.000 invitaciones, 640 respuestas, media 8,1 con \( s = 1{,}6 \). El comité pregunta: «¿cuánto podemos fiarnos del 8,1?». Ahora tenemos todas las piezas:

1. El 8,1 es una realización de la variable aleatoria \( \bar{X} \): otras 640 respuestas habrían dado otro número.
2. Su error típico es \( \sigma/\sqrt{640} \approx 1{,}6/25{,}3 \approx 0{,}063 \) puntos.
3. Por el TCL, \( \bar{X} \) es aproximadamente normal. Con la regla 68-95-99,7: si la satisfacción real de la población de clientes fuera \( \mu \), la media de 640 respuestas caería a menos de \( 2 \times 0{,}063 \approx 0{,}13 \) puntos de \( \mu \) en el 95 % de las muestras.

Es decir: la fluctuación muestral del 8,1 es del orden de ±0,1 — pequeña, pero no nula. Lo que falta para responder del todo al comité es invertir el razonamiento: pasar de «si conociera \( \mu \), sé cómo baila \( \bar{X} \)» a «he observado \( \bar{x} = 8{,}1 \): ¿qué puedo afirmar sobre la \( \mu \) desconocida, y con cuánta confianza?». Esa inversión — con sus matices, como usar \( s \) en lugar de la \( \sigma \) desconocida, y sin olvidar que el 32 % de no-respuesta puede sesgar más que el azar (Módulo 1) — es exactamente la inferencia estadística, y empieza en la próxima lección.

• Confundir \( \sigma \) con \( \sigma/\sqrt{n} \). La desviación típica de los datos mide cuánto varía un ticket; el error típico mide cuánto varía la media de la muestra. Usar 21,50 donde va 2,15 multiplica por diez cualquier probabilidad de cola. Pregúntate siempre: ¿mi pregunta es sobre un individuo o sobre una media?
• Creer que el TCL normaliza los datos. El TCL habla de la media muestral, no de las observaciones: por muchos tickets que reúnas, su histograma seguirá siendo asimétrico. Lo que se vuelve normal es la distribución de las medias entre muestras.
• Aplicar \( n \geq 30 \) como dogma. Es una orientación: con poblaciones casi simétricas basta menos; con asimetrías fuertes o valores atípicos extremos conviene más. Y con datos dependientes (tickets de la misma familia, ventas de días consecutivos) el TCL tal como lo hemos enunciado no aplica: la independencia es parte del contrato.
• Olvidar comprobar \( np \geq 10 \) y \( n(1-p) \geq 10 \) antes de aproximar una binomial. Con \( p = 0{,}005 \) (fraude) y \( n = 400 \), \( np = 2 \): ahí la aproximación correcta era la Poisson de la lección anterior, no la normal.
• Ignorar la corrección de continuidad en recuentos discretos cuando se necesita precisión: sin ella, \( P(X \geq 130) \) salía 0,123 en vez de 0,138. Para comunicar órdenes de magnitud puede omitirse; para decisiones al milímetro, no.
• Consejo: memoriza la ley de la raíz cuadrada (\( \times 4 \) muestra → \( \div 2 \) error) para reaccionar en reuniones: cuando alguien proponga «doblar la encuesta para afinar el doble», ya sabes que no funciona así.

Ejercicio 1. Con los tickets de NovaMarket (\( \mu = 32{,}40 \) €, \( \sigma = 21{,}50 \) €): (a) Calcula el error típico de la media para muestras de 64 y de 256 tickets, y comenta la relación entre ambos resultados. (b) Para \( n = 256 \), calcula \( P(\bar{X} > 34) \) (\( \Phi(1{,}19) = 0{,}8830 \)). (c) ¿Por qué es válido usar la normal en (b) si los importes de ticket son asimétricos?

Ejercicio 2. El 45 % de los tickets incluye producto fresco. En una muestra de 100 tickets de Sevilla-Nervión: (a) Comprueba si procede la aproximación normal a la binomial. (b) Calcula, con corrección de continuidad, la probabilidad de que 40 o menos tickets incluyan fresco (\( \Phi(0{,}90) = 0{,}8159 \)). (c) Expresa el error típico de la proporción muestral en puntos porcentuales.

Ejercicio 3. Sobre la encuesta de satisfacción (\( n = 640 \), \( s = 1{,}6 \)): (a) Calcula el error típico de la media. (b) Suponiendo que la media poblacional fuera realmente 8,1, ¿entre qué dos valores caería la media muestral en el 95 % de las encuestas de 640 respuestas? (c) Marketing propone repetir la encuesta con solo 160 respuestas «porque la media va a salir igual». ¿Qué le responderías con números?

Solución 1. (a) \( 21{,}50/\sqrt{64} = 21{,}50/8 \approx 2{,}69 \) € y \( 21{,}50/\sqrt{256} = 21{,}50/16 \approx 1{,}34 \) €. Cuadruplicar la muestra ha reducido el error justo a la mitad: ley de la raíz cuadrada. (b) \( z = \frac{34 - 32{,}40}{1{,}34} \approx 1{,}19 \); \( P = 1 - 0{,}8830 = 0{,}1170 \). (c) Por el TCL: con \( n = 256 \), muy por encima de 30, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal aunque la población no lo sea. Error frecuente: en (b), usar \( \sigma = 21{,}50 \) en el denominador, que daría \( z = 0{,}07 \) y una probabilidad absurda del 47 %.

Solución 2. (a) \( np = 45 \geq 10 \) y \( n(1-p) = 55 \geq 10 \): procede. (b) Media \( 45 \), desviación \( \sqrt{100 \times 0{,}45 \times 0{,}55} = \sqrt{24{,}75} \approx 4{,}97 \). Con corrección de continuidad, «\( X \leq 40 \)» se evalúa en 40,5: \( z = \frac{40{,}5 - 45}{4{,}97} \approx -0{,}90 \), luego \( P \approx 1 - 0{,}8159 = 0{,}1841 \). (c) \( \sqrt{0{,}45 \times 0{,}55/100} \approx 0{,}0497 \): la proporción muestral fluctúa típicamente unos ±5 puntos porcentuales con 100 tickets. Error frecuente: usar 39,5 en lugar de 40,5 — el escalón de «hasta 40 incluido» termina en 40,5.

Solución 3. (a) \( 1{,}6/\sqrt{640} \approx 1{,}6/25{,}3 \approx 0{,}063 \) puntos. (b) \( 8{,}1 \pm 2 \times 0{,}063 \): entre 7,97 y 8,23 aproximadamente (regla del 95 %). (c) Con \( n = 160 \), el error típico sería \( 1{,}6/\sqrt{160} \approx 0{,}126 \): el doble. La media «saldría parecida», sí, pero con una fluctuación típica de ±0,25 puntos al 95 %, suficiente para confundir un 8,1 con un 7,9 o un 8,3 — justo las diferencias que el comité quiere vigilar. Matiz de analista: además del azar, en ambas encuestas persiste el posible sesgo de no-respuesta del Módulo 1, que ningún aumento de \( n \) corrige.

El Teorema Central del Límite corona el módulo y le da sentido retrospectivo: la media muestral es una variable aleatoria centrada en \( \mu \), con error típico \( \sigma/\sqrt{n} \) y — aquí el milagro — forma normal sea cual sea la población de partida; las proporciones, medias disfrazadas, heredan el mismo comportamiento, y la binomial de \( n \) grande se rinde a la campana. Con ello, la caja de herramientas del Módulo 4 queda cerrada y ocurre algo más profundo: por primera vez sabemos cuánto baila un estadístico alrededor del parámetro que persigue — el 8,1 de satisfacción baila ±0,06, el 61 % de tarjeta sobre 200 tickets baila ±3,5 puntos. Solo falta darle la vuelta al catalejo: dejar de deducir la muestra a partir de la población y empezar a inferir la población a partir de la muestra, que es lo que Marta necesita para responder al comité. Ese giro — estimar parámetros desconocidos y cuantificar la confianza de la estimación — arranca en el Módulo 5 con la Estimación de Parámetros.