En la lección anterior estimamos el gasto medio mensual de los socios del Club Nova (126,40 €, con un error típico de unos 5 €) y aprendimos que una estimación puntual, por sí sola, es una respuesta incompleta. En esta lección la completamos: construiremos intervalos de confianza, horquillas de valores que acompañan a la estimación con una garantía de fiabilidad medible. Es probablemente la herramienta estadística más usada — y más malinterpretada — en informes de empresa, así que dedicaremos especial atención a qué significa exactamente «con un 95 % de confianza». De paso, saldaremos una deuda que arrastramos desde el Módulo 1: responder con rigor a la pregunta del comité de dirección sobre el 8,1 de satisfacción.

1. La idea: de la estimación puntual a la horquilla
2. Qué significa (y qué no) «confianza del 95 %»
3. IC para la media con σ conocida: la fórmula z
4. IC para la media con σ desconocida: la fórmula t
5. IC para una proporción
6. La respuesta al comité: satisfacción y pago con tarjeta
7. Qué hace ancho o estrecho un intervalo: el margen de error
8. IC para la diferencia de dos medias o dos proporciones

El razonamiento nace directamente del Teorema Central del Límite. Sabemos que la media muestral se distribuye (aproximadamente) como una normal centrada en \( \mu \) con desviación \( \sigma/\sqrt{n} \). Y por la regla 68-95-99,7 del Módulo 4, el 95 % de las medias muestrales cae a menos de 1,96 errores típicos de \( \mu \).

Ahora el giro del catalejo: si \( \bar{x} \) está a menos de 1,96 errores típicos de \( \mu \) el 95 % de las veces, entonces el intervalo \( \bar{x} \pm 1{,}96 \cdot ET \) atrapa a \( \mu \) el 95 % de las veces. Esa es toda la magia:

\[ \text{IC} = \text{estimación puntual} \pm (\text{valor crítico}) \times (\text{error típico}) \]

La mitad derecha de la fórmula, \( (\text{valor crítico}) \times (\text{error típico}) \), tiene nombre propio: margen de error. Es el «±» que ves en las encuestas electorales.

Los valores críticos de la normal ya los conoces del Módulo 4:

Este es el punto donde más informes patinan, así que vamos despacio.

Interpretación correcta: la confianza es una propiedad del método, no del intervalo concreto. Si repitiéramos el muestreo muchas veces y construyéramos un intervalo con cada muestra, aproximadamente el 95 % de esos intervalos contendría el verdadero valor de \( \mu \). Nuestro intervalo concreto es uno de esa colección: o contiene a \( \mu \) o no lo contiene (no lo sabremos nunca), pero procede de una fábrica que acierta el 95 % de las veces.

Interpretaciones incorrectas (y frecuentes):

La confusión de la tercera fila es la más peligrosa en la empresa: un IC estrecho no significa que los clientes sean homogéneos, solo que hemos medido bien el promedio.

Analogía útil: lanzar herraduras a una estaca. La estaca (\( \mu \)) está fija; lo que varía en cada lanzamiento es la herradura (el intervalo). Un jugador «del 95 %» rodea la estaca en 95 de cada 100 tiros. Tras un lanzamiento concreto, la herradura rodea la estaca o no — pero confías en el jugador.

Cuando (rara vez) conocemos la desviación típica poblacional, el intervalo al nivel de confianza \( 1-\alpha \) es:

\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Ejemplo NovaMarket. La tienda de Valencia-Ruzafa reabrió tras una reforma y Marta quiere estimar su nueva venta diaria media. Por el histórico de la cadena se acepta que la variabilidad diaria sigue siendo \( \sigma = 6.200 \) € (la misma de la N(43.983; 6.200) del Módulo 4). En los primeros \( n = 36 \) días tras la reforma, la venta media fue \( \bar{x} = 45.750 \) €.

1. Error típico: \( 6.200/\sqrt{36} = 6.200/6 = 1.033{,}33 \) €.
2. Margen de error al 95 %: \( 1{,}96 \times 1.033{,}33 = 2.025{,}3 \) €.
3. Intervalo: \( 45.750 \pm 2.025 \Rightarrow [43.725 ; ; 47.775] \) €.

Lectura de negocio: la venta media diaria post-reforma está, con un 95 % de confianza, entre 43.725 y 47.775 €. El intervalo casi deja fuera la media histórica de la cadena (43.983 €, pegada al borde inferior), lo que sugiere una mejora — aunque para afirmarlo formalmente necesitaremos el contraste de hipótesis de la próxima lección.

El caso realista: \( \sigma \) se estima con \( s \), y el valor crítico sale de la tabla t con \( n-1 \) grados de libertad (lección anterior):

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2,,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Ejemplo 1: el gasto del Club Nova. Con \( n = 60 \), \( \bar{x} = 126{,}40 \) €, \( s = 38{,}50 \) €:

1. Error típico: \( 38{,}50/\sqrt{60} \approx 4{,}97 \) €.
2. Valor crítico: fila gl = 59, columna 0,025 → \( t = 2{,}001 \).
3. Margen de error: \( 2{,}001 \times 4{,}97 \approx 9{,}94 \) €.
4. Intervalo al 95 %: \( 126{,}40 \pm 9{,}94 \Rightarrow [116{,}46 ; ; 136{,}34] \) €.

Informe para Marta: «el gasto medio mensual por socio está entre 116 € y 136 €, con un 95 % de confianza». Observa que con gl = 59 el valor t (2,001) apenas difiere del z (1,96): con muestras grandes ambas fórmulas casi coinciden.

Ejemplo 2: donde la t se nota — el piloto de Cuenca. Antes de encargar el estudio grande, el equipo hizo un piloto con solo \( n = 12 \) socios de Cuenca: \( \bar{x} = 118{,}30 \) €, \( s = 41{,}20 \) €.

1. Error típico: \( 41{,}20/\sqrt{12} = 41{,}20/3{,}464 \approx 11{,}89 \) €.
2. Valor crítico: \( t_{0{,}025,,11} = 2{,}201 \).
3. Margen de error: \( 2{,}201 \times 11{,}89 \approx 26{,}17 \) €.
4. Intervalo: \( 118{,}30 \pm 26{,}17 \Rightarrow [92{,}13 ; ; 144{,}47] \) €.

Una horquilla de más de 52 € de ancho: prácticamente inútil para decidir. Es la ilustración perfecta de por qué los pilotos minúsculos «no dan para conclusiones» — y de por qué existe el cálculo de tamaño muestral que veremos en la lección Errores, Potencia y Tamaño Muestral.

Para proporciones, con muestras grandes (regla del Módulo 4: al menos 10 éxitos y 10 fracasos), el TCL permite usar la normal:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Ejemplo: socios activos del Club Nova. Con \( \hat{p} = 0{,}64 \) y \( n = 150 \) (ET = 0,0392, calculado en la lección anterior):

\[ 0{,}64 \pm 1{,}96 \times 0{,}0392 = 0{,}64 \pm 0{,}077 \Rightarrow [0{,}563 ; ; 0{,}717] \]

Entre el 56 % y el 72 % de los 380.000 socios está activo, al 95 % de confianza. Nótese lo ancho que es: con proporciones, \( n = 150 \) da poca precisión.

Llegó el momento de cerrar la pregunta abierta desde el Módulo 1. El comité vio el 8,1 de satisfacción media (640 respuestas) y preguntó: «¿ese 8,1 es fiable, o con otra muestra saldría otra cosa?». Ya tenemos todo:

Satisfacción media. \( \bar{x} = 8{,}1 \), \( s = 1{,}6 \), \( n = 640 \), ET ≈ 0,063. Con \( n \) tan grande, t y z coinciden (1,96):

\[ 8{,}1 \pm 1{,}96 \times 0{,}063 = 8{,}1 \pm 0{,}13 \Rightarrow [7{,}97 ; ; 8{,}23] \]

El famoso «baila ±0,13 al 95 %» del Módulo 4, ahora con su forma definitiva. Frase para el comité: «con un 95 % de confianza, la satisfacción media real de nuestros clientes está entre 7,97 y 8,23; la cifra es sólida». Y una implicación práctica inmediata: si el año que viene la encuesta da 8,2, no habrá motivo para celebrarlo — está dentro del baile natural del muestreo.

Pago con tarjeta. \( \hat{p} = 0{,}61 \), \( n = 200 \), ET = 0,0345:

\[ 0{,}61 \pm 1{,}96 \times 0{,}0345 = 0{,}61 \pm 0{,}068 \Rightarrow [0{,}542 ; ; 0{,}678] \]

Entre el 54,2 % y el 67,8 %. Horquilla notablemente más ancha que la de satisfacción: 200 tickets dan mucha menos precisión que 640 encuestas — y las proporciones son, en general, caras de estimar.

El margen de error \( E = z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} \) (o su versión t/proporción) depende de tres palancas:

Sobre la segunda fila, compáralo en el caso del gasto: al 99 % (\( t_{0{,}005,,59} \approx 2{,}662 \)) el intervalo sería \( 126{,}40 \pm 13{,}23 = [113{,}17; 139{,}63] \), tres euros más ancho por cada lado que el del 95 %. No existe el intervalo «100 % de confianza» útil: sería \( (-\infty, +\infty) \).

La única palanca que controla el analista de verdad es \( n \). Despejar el \( n \) necesario para un margen de error objetivo es exactamente lo que haremos en la lección 05-04.

Muchas decisiones no van de un valor, sino de una comparación: ¿tienda vs online?, ¿Madrid vs Cuenca? La receta es la misma — estimación ± crítico × error típico — cambiando dos piezas: la estimación es la diferencia y el error típico combina las dos muestras (las varianzas de muestras independientes se suman, como vimos en el Módulo 3):

\[ (\bar{x}_1 - \bar{x}2) \pm z{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \qquad\quad (\hat{p}_1 - \hat{p}2) \pm z{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \]

(Con muestras grandes usamos z; con muestras pequeñas se usa la t, con unos grados de libertad que dejamos para cursos más avanzados.)

Ejemplo: satisfacción tienda vs online. Desglosando las 640 respuestas de la encuesta: clientes de tienda física, \( n_1 = 450 \), \( \bar{x}_1 = 8{,}3 \), \( s_1 = 1{,}5 \); clientes online, \( n_2 = 190 \), \( \bar{x}_2 = 7{,}6 \), \( s_2 = 1{,}9 \).

1. Diferencia estimada: \( 8{,}3 - 7{,}6 = 0{,}7 \) puntos.
2. Error típico: \( \sqrt{\dfrac{1{,}5^2}{450} + \dfrac{1{,}9^2}{190}} = \sqrt{0{,}0050 + 0{,}0190} = \sqrt{0{,}0240} \approx 0{,}155 \).
3. IC al 95 %: \( 0{,}7 \pm 1{,}96 \times 0{,}155 = 0{,}7 \pm 0{,}30 \Rightarrow [0{,}40 ; ; 1{,}00] \).

La clave de lectura: ¿contiene el cero? Aquí no — todo el intervalo es positivo. Con un 95 % de confianza, la satisfacción en tienda supera a la online en entre 0,4 y 1 punto: la brecha es real, no un espejismo muestral. Si el intervalo hubiera sido, digamos, [−0,1; 0,5], no podríamos descartar que ambas medias fueran iguales. Este criterio del cero es el puente directo hacia la próxima lección.

Ejemplo exprés con proporciones. Pago con tarjeta en Madrid-Centro (\( \hat{p}_1 = 0{,}68 \), \( n_1 = 200 \)) frente a Cuenca (\( \hat{p}_2 = 0{,}49 \), \( n_2 = 200 \)): diferencia 0,19; ET \( = \sqrt{0{,}68 \times 0{,}32/200 + 0{,}49 \times 0{,}51/200} = \sqrt{0{,}002338} \approx 0{,}048 \); IC 95 %: \( 0{,}19 \pm 0{,}095 \Rightarrow [0{,}095; 0{,}285] \). No contiene el cero: en Madrid-Centro se paga con tarjeta claramente más que en Cuenca (entre 9,5 y 28,5 puntos más).

• «Hay un 95 % de probabilidad de que μ esté en el intervalo». En rigor, la probabilidad del 95 % pertenece al método, no al intervalo ya calculado. En un informe, di «con un 95 % de confianza» y, si te piden explicarlo, usa la analogía de la herradura.
• Confundir el IC de la media con el rango de los individuos. [116; 136] € acota el gasto medio, no el gasto de cada socio: la mayoría de socios gasta fuera de esa horquilla. Son preguntas distintas con anchuras distintas.
• Usar z con muestras pequeñas y σ desconocida. Con el piloto de Cuenca (n = 12), usar 1,96 en vez de 2,201 estrecharía el intervalo artificialmente un 11 %: precisión ficticia.
• Ignorar la regla de validez en proporciones. El IC normal para \( \hat{p} \) requiere al menos ~10 éxitos y 10 fracasos. Con 4 devoluciones en 50 pedidos, no lo uses.
• Comparar dos grupos mirando si sus IC individuales se solapan. Es un criterio demasiado conservador: dos IC pueden solaparse un poco y aun así ser la diferencia significativa. Lo correcto es construir el IC de la diferencia y mirar si contiene el cero.
• Olvidar que el IC solo cubre el error de muestreo. Si la muestra tiene sesgo de selección (Módulo 1), el intervalo estará mal centrado por muy estrecho que sea. Confianza estadística no arregla datos mal recogidos.

Ejercicio 1. Construye el IC al 99 % para la proporción de tickets pagados con tarjeta (\( \hat{p} = 0{,}61 \), \( n = 200 \), ET = 0,0345) y compáralo con el del 95 % calculado en la lección. ¿Qué has ganado y qué has perdido al subir la confianza?

Ejercicio 2. En la encuesta de satisfacción, los 190 clientes online dieron \( \bar{x} = 7{,}6 \) con \( s = 1{,}9 \). Construye el IC al 95 % para la satisfacción media online (usa z, ya que n es grande) e interpreta el resultado en una frase para el comité. ¿Contiene el 8 «objetivo corporativo»?

Ejercicio 3. El responsable de logística resume así un análisis: «el IC del 95 % para el tiempo medio de entrega es [40,2; 43,8] horas, así que el 95 % de los pedidos llega en menos de 44 horas». Señala el error y reescribe la conclusión correctamente.

Solución 1. Margen: \( 2{,}576 \times 0{,}0345 \approx 0{,}089 \). IC 99 %: \( [0{,}521; 0{,}699] \), frente a \( [0{,}542; 0{,}678] \) al 95 %. Ganas garantía (fallará solo 1 de cada 100 veces el método) a cambio de 4,2 puntos porcentuales más de anchura total. Error frecuente: usar 2,326 (que es el crítico de una cola al 1 %, el z de P99); para un IC al 99 % el área se reparte en dos colas de 0,005 y el crítico es 2,576.

Solución 2. ET \( = 1{,}9/\sqrt{190} = 1{,}9/13{,}78 \approx 0{,}138 \). IC: \( 7{,}6 \pm 1{,}96 \times 0{,}138 = 7{,}6 \pm 0{,}27 \Rightarrow [7{,}33; 7{,}87] \). Frase: «con un 95 % de confianza, la satisfacción media del canal online está entre 7,3 y 7,9 puntos: queda por debajo del objetivo de 8, incluso en su extremo superior». No contiene el 8, lo que anticipa un problema real en el canal online. Error frecuente: usar el ET global de 0,063 (que corresponde a las 640 respuestas juntas) en lugar del ET del subgrupo online.

Solución 3. El error es interpretar el IC de la media como cobertura de los pedidos individuales (fila 3 de nuestra tabla de malinterpretaciones). Los tiempos individuales se dispersan mucho más que la media muestral. Correcto: «con un 95 % de confianza, el tiempo medio de entrega está entre 40,2 y 43,8 horas». Para hablar del porcentaje de pedidos individuales bajo un umbral se usa la distribución de la variable (como hicimos con F(48) = 0,899 en el Módulo 4), no el IC de la media.

Ya sabemos convertir una estimación puntual en una horquilla honesta: estimación ± crítico × error típico, con z cuando \( \sigma \) es conocida o la muestra es grande, con t cuando se estima con \( s \), y con su versión para proporciones y para diferencias entre grupos. Sabemos qué significa de verdad la confianza del 95 %, qué tres palancas gobiernan la anchura del intervalo, y hemos dado por fin al comité su respuesta: la satisfacción media está en [7,97; 8,23] y el pago con tarjeta en [54,2 %; 67,8 %].

El intervalo de la diferencia tienda vs online ([0,40; 1,00], sin contener el cero) nos ha dejado además una conclusión incómoda: el canal online lo hace peor. Pero ¿cómo se formaliza ese tipo de afirmación? ¿Cómo se decide, con reglas explícitas y un riesgo de error controlado, si «hay efecto» o «es ruido muestral»? Ese es el terreno de las Pruebas de Hipótesis, la maquinaria de decisión de la estadística.