Al cerrar el Módulo 3 quedó plantada una idea decisiva: muchos fenómenos de azar siguen patrones tan repetidos que no hace falta modelarlos desde cero, porque existen plantillas con nombre y apellidos. Esta lección presenta la primera y la más natural para NovaMarket: la distribución binomial, el modelo para contar éxitos en un número fijo de intentos independientes. ¿Cuántos de los próximos 10 tickets se pagarán con tarjeta? ¿Cuántos de los 20 pedidos de esta tarde llegarán fuera de plazo? ¿Cuántos de los 380.000 cupones del Club Nova se canjearán? Las tres preguntas son, en el fondo, la misma pregunta, y una única fórmula las responde todas. Aprenderás de dónde sale esa fórmula, cómo aplicarla paso a paso, qué media y qué dispersión tiene el modelo, y — tan importante como lo anterior — a reconocer cuándo una situación no es binomial.

1. El ladrillo básico: el ensayo de Bernoulli
2. Las cuatro condiciones del modelo binomial
3. La fórmula binomial y el número combinatorio
4. Ejemplo completo: tickets con tarjeta en Madrid-Centro
5. Media y varianza de una binomial
6. Ejemplo de negocio: entregas fuera de SLA
7. La forma de la distribución según \( p \)
8. Cuándo NO es binomial

Un ensayo de Bernoulli es el experimento aleatorio más simple posible: uno con solo dos resultados, que por convenio llamamos «éxito» y «fracaso». En la lección anterior ya trabajamos con variables de este tipo sin ponerles nombre: \( Y = 1 \) si el ticket se paga con tarjeta, \( Y = 0 \) si no.

• «Éxito» es una etiqueta técnica, no un juicio de valor: si estudiamos entregas tardías, el «éxito» puede ser precisamente «llegar tarde». Éxito = el suceso que estamos contando.
• La probabilidad de éxito se denota \( p \); la de fracaso, \( q = 1 - p \).

Una variable de Bernoulli \( Y \) tiene una tabla de distribución mínima:

Aplicando las fórmulas de esperanza y varianza de la lección anterior: \( E(Y) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p \) y \( \operatorname{Var}(Y) = (0-p)^2(1-p) + (1-p)^2 p = p(1-p) \). Conviene memorizar ambas: reaparecerán multiplicadas por \( n \) dentro de un momento.

Ejemplos de Bernoulli en NovaMarket, con las cifras que ya conocemos:

El modelo binomial nace de repetir un ensayo de Bernoulli y contar los éxitos. Decimos que \( X \) sigue una distribución binomial de parámetros \( n \) y \( p \) — se escribe \( X \sim B(n, p) \) — cuando se cumplen estas cuatro condiciones:

1. Número fijo de ensayos: \( n \) está decidido de antemano (los próximos 10 tickets, los 20 pedidos de hoy).
2. Dos resultados por ensayo: cada ensayo es un Bernoulli (éxito/fracaso).
3. Probabilidad constante: \( p \) es la misma en todos los ensayos.
4. Independencia: el resultado de un ensayo no influye en los demás (recuerda la definición formal de independencia de la lección 03-02).

Si las cuatro se cumplen, la variable \( X \) = «número de éxitos en los \( n \) ensayos» toma valores en \( {0, 1, 2, \dots, n} \) y su f.m.p. tiene una fórmula cerrada: no necesitamos estimar la tabla de distribución dato a dato, como hicimos con las bolsas reutilizables, porque la plantilla la genera entera a partir de solo dos números, \( n \) y \( p \). Esa es exactamente la ventaja de los modelos de distribución que anunciamos al cerrar el Módulo 3.

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} , p^k , (1-p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, \dots, n \]

La fórmula tiene tres factores, y cada uno responde a una pregunta:

• \( p^k \): probabilidad de que una secuencia concreta tenga éxito en \( k \) posiciones determinadas. Por la regla del producto para sucesos independientes (Módulo 3), las probabilidades se multiplican.
• \( (1-p)^{n-k} \): probabilidad de fracaso en las otras \( n-k \) posiciones de esa misma secuencia.
• \( \binom{n}{k} \): el número combinatorio («\( n \) sobre \( k \)»), que cuenta cuántas secuencias distintas contienen exactamente \( k \) éxitos. Como todas esas secuencias son mutuamente excluyentes y tienen la misma probabilidad, la regla de la suma nos dice que basta multiplicar.

El número combinatorio se calcula así:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! , (n-k)!} \]

donde \( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \) (y por convenio \( 0! = 1 \)). Un mini-ejemplo para fijar la idea: ¿de cuántas maneras pueden 2 de 3 tickets ser con tarjeta? Las secuencias posibles son TTx, TxT y xTT: tres. Y en efecto:

\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2 \times 1} = 3 \]

Dos propiedades que ahorran cálculos: \( \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \) (solo hay una forma de fallar todo o de acertar todo) y \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) (elegir qué \( k \) posiciones son éxito equivale a elegir qué \( n-k \) son fracaso).

Marta pide un análisis para dimensionar los datáfonos: de los próximos 10 tickets de una caja de Madrid-Centro, ¿cuántos se pagarán con tarjeta? Sabemos que el 61 % de los tickets se paga con tarjeta, y es razonable suponer que los clientes deciden con independencia unos de otros. Por tanto:

\[ X = \text{«nº de tickets con tarjeta de los próximos 10»} \sim B(10;\ 0{,}61) \]

Paso a paso para \( P(X = 6) \):

1. Número combinatorio: \( \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5.040}{24} = 210 \).
2. Potencia de éxitos: \( 0{,}61^6 \approx 0{,}05152 \).
3. Potencia de fracasos: \( 0{,}39^4 \approx 0{,}02313 \).
4. Producto: \( P(X = 6) = 210 \times 0{,}05152 \times 0{,}02313 \approx 0{,}2503 \).

Hay un 25 % de probabilidad de que exactamente 6 de los 10 paguen con tarjeta. Repitiendo el cálculo para cada \( k \) se obtiene la distribución completa:

(La suma es 1, como exige toda f.m.p.) Con la tabla, cualquier pregunta se responde sumando, igual que en la lección anterior:

• «¿Y si al menos 8 pagan con tarjeta?»: \( P(X \geq 8) = 0{,}1312 + 0{,}0456 + 0{,}0071 = 0{,}1839 \).
• «¿Y 4 o menos?»: \( P(X \leq 4) = 0{,}0001 + 0{,}0013 + 0{,}0090 + 0{,}0374 + 0{,}1023 = 0{,}1501 \).

Fíjate en un truco que usaremos constantemente: para «al menos uno» casi siempre es más corto el complementario. \( P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}39^{10} \approx 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999 \).

Podríamos calcular \( E(X) \) con la tabla anterior (sumar \( k \cdot P(X=k) \)), pero la plantilla trae las fórmulas de serie. Como \( X \) es la suma de \( n \) Bernoullis independientes, su esperanza es \( n \) veces la de un Bernoulli, y lo mismo su varianza:

\[ E(X) = np \qquad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Para los 10 tickets: \( E(X) = 10 \times 0{,}61 = 6{,}1 \) tickets con tarjeta, con \( \sigma = \sqrt{10 \times 0{,}61 \times 0{,}39} = \sqrt{2{,}379} \approx 1{,}54 \). Lectura de analista: «esperamos unos 6 de cada 10, con una fluctuación típica de ±1,5». Mira la tabla y comprueba que casi toda la probabilidad se concentra entre \( 6{,}1 - 2 \times 1{,}54 \approx 3 \) y \( 6{,}1 + 2 \times 1{,}54 \approx 9 \): en efecto, \( P(3 \leq X \leq 9) \approx 0{,}98 \).

Un detalle útil de la fórmula de la varianza: para \( n \) fijo, \( p(1-p) \) es máximo cuando \( p = 0{,}5 \). La incertidumbre sobre el recuento es máxima cuando el éxito y el fracaso están igualados, y mínima cuando \( p \) se acerca a 0 o a 1 (con \( p = 0{,}005 \), como el fraude, casi todos los recuentos serán 0).

Recordemos el SLA de e-commerce: «el 90 % de los pedidos en menos de 48 h». En el Módulo 3 leímos sobre la F.d.a. de los tiempos de entrega que \( F(48) = 0{,}899 \), así que la probabilidad de que un pedido concreto llegue fuera de plazo es \( p \approx 0{,}10 \).

El equipo de e-commerce despachará esta tarde 20 pedidos a clientes distintos, repartidos entre transportistas como siempre. Marta pregunta: «¿qué probabilidad hay de que 3 o más lleguen tarde?» Modelamos \( X \sim B(20;\ 0{,}10) \) y usamos el complementario:

\[ P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) \]

1. \( P(X=0) = \binom{20}{0} , 0{,}1^0 , 0{,}9^{20} = 0{,}9^{20} \approx 0{,}1216 \)
2. \( P(X=1) = \binom{20}{1} , 0{,}1^1 , 0{,}9^{19} = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}1351 \approx 0{,}2702 \)
3. \( P(X=2) = \binom{20}{2} , 0{,}1^2 , 0{,}9^{18} = 190 \times 0{,}01 \times 0{,}1501 \approx 0{,}2852 \)
4. \( P(X \geq 3) = 1 - (0{,}1216 + 0{,}2702 + 0{,}2852) = 1 - 0{,}6770 = 0{,}3230 \)

Casi un día de cada tres, la tarde acabará con 3 o más entregas tardías — aunque lo esperado sea solo \( E(X) = 20 \times 0{,}10 = 2 \). Este resultado es valiosísimo para gestionar expectativas: si Marta recibiera una queja cada vez que hay 3 retrasos en una tarde, la binomial le dice que eso ocurrirá con frecuencia incluso si el proceso funciona exactamente según lo previsto. Distinguir la fluctuación normal del deterioro real del servicio es, precisamente, el corazón del Módulo 5.

Una matización honesta del modelo: aquí tratamos \( p = 0{,}10 \) como constante, pero sabemos por el Módulo 3 que la tardanza depende del transportista (LogiExpress 8 %, RápidoSur 15 %). Si los 20 pedidos se reparten con las proporciones habituales (70/30), la \( p \) global del 10 % es una media ponderada válida y el modelo funciona bien; si un día concreto todo saliera con RápidoSur, habría que usar \( B(20;\ 0{,}15) \). El modelo es una plantilla: hay que rellenarla con la \( p \) correcta para el contexto.

La binomial no siempre tiene la misma silueta. Con las ideas de forma del Módulo 2 (simetría y asimetría de un histograma):

Y una observación que dejamos sembrada: para \( n \) grande, aunque \( p \) no sea 0,5, la distribución se va volviendo cada vez más simétrica y acampanada. Compruébalo mentalmente con los cupones: \( B(380.000;\ 0{,}18) \) tiene \( E(X) = 68.400 \) canjes con \( \sigma = \sqrt{380.000 \times 0{,}18 \times 0{,}82} \approx 237 \); nadie calcularía \( \binom{380.000}{68.400} \) a mano. Esa campana que asoma tiene nombre propio — la veremos en la siguiente lección — y el porqué de la aproximación se explica en el Teorema Central del Límite.

Reconocer cuándo la plantilla no encaja es tan importante como saber usarla. Los tres fallos típicos atacan a las condiciones 3 y 4:

• Muestreo sin reemplazo en población pequeña (falla la independencia y la \( p \) constante). Si en una caja de 12 unidades de fruta hay 3 en mal estado y extraigo 4 sin devolverlas, la probabilidad de sacar una defectuosa cambia con cada extracción (3/12, luego quizá 2/11…). El modelo correcto es la hipergeométrica, que veremos en 04-03. Regla práctica: si la muestra es menos del 10 % de la población, la binomial es una aproximación excelente — por eso tratar 10 tickets de entre los miles del día como independientes es legítimo.
• Probabilidad no constante entre ensayos. El 61 % de pago con tarjeta es una media anual; un viernes por la tarde en Valencia-Ruzafa puede ser 70 % y un martes por la mañana en Cuenca, 50 %. Contar «tickets con tarjeta de una semana entera mezclando franjas» con una sola \( p \) puede sesgar los resultados si las franjas pesan distinto cada día.
• Dependencia entre ensayos. Los clientes no siempre deciden solos: si cae el datáfono de la tienda, todos los tickets siguientes pasan a efectivo a la vez; una familia que compra junta genera tickets correlacionados; en fraude, los ataques llegan en ráfagas coordinadas. Cuando el resultado de un ensayo arrastra a los demás, la binomial subestima la probabilidad de resultados extremos.

Y un recordatorio de alcance: la binomial cuenta éxitos en un nº fijo de ensayos. Si la pregunta es «¿cuántos intentos hasta el primer éxito?» o «¿cuántos sucesos por hora?», la plantilla es otra (geométrica y Poisson, ambas en la próxima lección sobre otras distribuciones).

• Olvidar el número combinatorio. \( p^k (1-p)^{n-k} \) es la probabilidad de una secuencia concreta; sin el factor \( \binom{n}{k} \) el resultado queda absurdamente pequeño. Si tu probabilidad de «6 de 10 con tarjeta» te sale 0,0012 en lugar de 0,25, casi seguro que te dejaste el 210.
• Confundir «al menos \( k \)» con «exactamente \( k \)». \( P(X \geq 3) \neq P(X = 3) \). Traduce siempre la frase de negocio a desigualdad antes de calcular, y valora el atajo del complementario: para «al menos uno», \( 1 - P(X=0) \).
• Intercambiar éxito y fracaso a mitad de cálculo. Si definiste éxito = «llega tarde» con \( p = 0{,}10 \), entonces \( 0{,}9^{20} \) es la probabilidad de que ninguno llegue tarde, no de que todos lleguen tarde. Escribe la definición de éxito al empezar y no la cambies.
• Aplicar la binomial a recuentos sin \( n \) fijo. «Clientes por hora en caja» no tiene un número de ensayos predeterminado: no es binomial (es Poisson, siguiente lección).
• Consejo: comprueba siempre el orden de magnitud con \( E(X) = np \) antes de dar un resultado. Si esperas 2 retrasos de 20 pedidos y tu cálculo dice que lo más probable son 9, algo falla.
• Consejo: en informes para dirección, acompaña el valor esperado con \( \sigma \). «Esperamos 2 retrasos, y hasta 4–5 entran en la variación normal» evita alarmas injustificadas.

Ejercicio 1. El 45 % de los tickets de NovaMarket incluye producto fresco. Para un test de una promoción de fruta, se observarán los próximos 8 tickets de Sevilla-Nervión. (a) Justifica que el modelo binomial es aplicable e identifica \( n \) y \( p \). (b) Calcula la probabilidad de que exactamente 4 tickets incluyan fresco. (c) Calcula \( E(X) \) y \( \sigma \).

Ejercicio 2. La tasa anual de bajas del Club Nova es del 3 %. Un gestor de Cuenca tiene una cartera de 10 socios «premium» a los que atiende personalmente, y presume de que este año no ha perdido ninguno. (a) Si sus socios se comportaran como el socio medio (bajas independientes, \( p = 0{,}03 \)), ¿qué probabilidad había de acabar el año sin ninguna baja? (b) ¿Y de sufrir al menos una? (c) A la vista de (a), ¿su resultado demuestra que gestiona mejor que la media?

Ejercicio 3. RápidoSur entrega tarde el 15 % de sus envíos. Mañana tiene asignados 12 pedidos. (a) Calcula la probabilidad de que como mucho 1 llegue tarde. (b) Calcula el número esperado de retrasos y su desviación típica. (c) Marta propone medir a RápidoSur contando los retrasos de sus próximos 12 envíos al mismo edificio de oficinas en la misma furgoneta. ¿Qué condición del modelo binomial se resiente?

Solución 1. (a) Hay \( n = 8 \) ensayos fijados de antemano, cada ticket incluye fresco o no (dos resultados), \( p = 0{,}45 \) es constante y los tickets de clientes distintos son razonablemente independientes: \( X \sim B(8;\ 0{,}45) \). (b) \( \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! , 4!} = 70 \); \( 0{,}45^4 \approx 0{,}04101 \); \( 0{,}55^4 \approx 0{,}09151 \); \( P(X=4) = 70 \times 0{,}04101 \times 0{,}09151 \approx 0{,}2627 \). (c) \( E(X) = 8 \times 0{,}45 = 3{,}6 \) tickets; \( \sigma = \sqrt{8 \times 0{,}45 \times 0{,}55} = \sqrt{1{,}98} \approx 1{,}41 \). Error frecuente: usar \( 0{,}45^4 \times 0{,}55^4 \) sin el 70 — daría 0,0038, la probabilidad de una única secuencia concreta.

Solución 2. (a) \( P(X = 0) = 0{,}97^{10} \approx 0{,}7374 \). (b) \( P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7374 = 0{,}2626 \). (c) No: un gestor medio acabaría el año sin bajas casi 3 de cada 4 veces. El resultado es totalmente compatible con no ser mejor que la media. Error frecuente: interpretar un resultado bueno pero probable bajo el azar como prueba de mérito — la misma falacia que la de la tasa base del caso de fraude. Cómo decidir formalmente si un resultado «demuestra» algo es el tema de las pruebas de hipótesis del Módulo 5.

Solución 3. (a) \( X \sim B(12;\ 0{,}15) \). \( P(X=0) = 0{,}85^{12} \approx 0{,}1422 \); \( P(X=1) = 12 \times 0{,}15 \times 0{,}85^{11} \approx 12 \times 0{,}15 \times 0{,}1673 \approx 0{,}3012 \); \( P(X \leq 1) \approx 0{,}4435 \). (b) \( E(X) = 12 \times 0{,}15 = 1{,}8 \); \( \sigma = \sqrt{12 \times 0{,}15 \times 0{,}85} = \sqrt{1{,}53} \approx 1{,}24 \). (c) La independencia: si la furgoneta pincha o el repartidor se retrasa, los 12 pedidos llegan tarde a la vez. Con ensayos dependientes, la binomial subestima los escenarios extremos (0 retrasos o 12 retrasos serían mucho más probables de lo que predice el modelo).

La binomial es tu primera plantilla: cuando cuentas éxitos en \( n \) intentos independientes con \( p \) constante, ya no necesitas construir la tabla de distribución a mano — la fórmula \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) la genera entera, y \( E(X) = np \) y \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \) resumen dónde está centrada y cuánto fluctúa. Has visto también sus límites: sin independencia o con \( p \) variable, la plantilla engaña. Y ha quedado a la vista un fenómeno curioso: al crecer \( n \), la silueta escalonada de la binomial se suaviza hasta parecer una campana simétrica. Esa campana no es una casualidad: es la distribución más importante de toda la estadística, la que ya intuiste al mirar el histograma de ventas diarias en el Módulo 2. Le ponemos nombre, fórmula y tabla en la siguiente lección: la Distribución Normal.