La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes en estadística. Se utiliza para modelar el número de éxitos en una serie de ensayos independientes y con dos posibles resultados (éxito o fracaso).

1. Ensayo de Bernoulli: Un experimento o proceso que tiene exactamente dos resultados posibles: éxito (con probabilidad \( p \)) y fracaso (con probabilidad \( 1 - p \)).
2. Número de Ensayos (\( n \)): El número total de ensayos independientes.
3. Número de Éxitos (\( k \)): El número de veces que se observa el resultado de éxito en los \( n \) ensayos.
4. Probabilidad de Éxito (\( p \)): La probabilidad de que ocurra un éxito en un ensayo individual.
5. Probabilidad de Fracaso (\( q \)): La probabilidad de que ocurra un fracaso en un ensayo individual, donde \( q = 1 - p \).

La probabilidad de obtener exactamente \( k \) éxitos en \( n \) ensayos se calcula utilizando la fórmula de la distribución binomial:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

donde:

• \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial y se calcula como \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \).
• \( p \) es la probabilidad de éxito en un ensayo.
• \( 1 - p \) es la probabilidad de fracaso en un ensayo.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y queremos encontrar la probabilidad de obtener exactamente 6 caras (éxitos), donde la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento es \( p = 0.5 \).

• \( n = 10 \)
• \( k = 6 \)
• \( p = 0.5 \)

\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^{10 - 6} \]

\[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10 - 6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 210 \]

\[ P(X = 6) = 210 \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^4 = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.205 \]

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 6 caras en 10 lanzamientos de una moneda es aproximadamente 0.205.

Un dado de seis caras se lanza 8 veces. Encuentra la probabilidad de obtener exactamente 3 veces el número 4. La probabilidad de obtener un 4 en un solo lanzamiento es \( p = \frac{1}{6} \).

1. Identificar los parámetros:

   • \( n = 8 \)
   • \( k = 3 \)
   • \( p = \frac{1}{6} \)

2. Aplicar la fórmula:

\[ P(X = 3) = \binom{8}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^{8 - 3} \]

3. Calcular el coeficiente binomial:

\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56 \]

4. Calcular la probabilidad:

\[ P(X = 3) = 56 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 \]

\[ P(X = 3) = 56 \cdot \frac{1}{216} \cdot \left(\frac{3125}{7776}\right) \]

\[ P(X = 3) = 56 \cdot \frac{3125}{1679616} \approx 0.010 \]

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 veces el número 4 en 8 lanzamientos de un dado es aproximadamente 0.010.

En esta sección, hemos aprendido sobre la distribución binomial, sus conceptos clave y cómo calcular la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una serie de ensayos independientes. Hemos visto un ejemplo práctico y un ejercicio para reforzar los conceptos aprendidos. En la siguiente sección, exploraremos la distribución normal, otra distribución de probabilidad fundamental en estadística.