La estimación de parámetros es una técnica fundamental en la inferencia estadística que se utiliza para inferir las características de una población a partir de una muestra. En esta sección, aprenderemos sobre los conceptos básicos de la estimación de parámetros, los diferentes métodos de estimación y cómo evaluar la calidad de las estimaciones.
Conceptos Básicos
Parámetros y Estadísticos
- Parámetro: Es una medida descriptiva de una población (por ejemplo, la media poblacional, la varianza poblacional).
- Estadístico: Es una medida descriptiva de una muestra (por ejemplo, la media muestral, la varianza muestral).
Tipos de Estimaciones
- Puntual: Proporciona un único valor como estimación del parámetro poblacional.
- Por Intervalo: Proporciona un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza.
Métodos de Estimación
Estimación Puntual
La estimación puntual utiliza un solo valor calculado a partir de la muestra para estimar el parámetro poblacional.
Ejemplo: Media Muestral
La media muestral (\(\bar{x}\)) es una estimación puntual de la media poblacional (\(\mu\)).
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Donde:
- \( n \) es el tamaño de la muestra.
- \( x_i \) son los valores de la muestra.
Ejercicio Práctico
Calcule la media muestral de los siguientes datos: 5, 7, 8, 6, 9.
Solución: \[ \bar{x} = \frac{1}{5} (5 + 7 + 8 + 6 + 9) = \frac{35}{5} = 7 \]
Estimación por Intervalo
La estimación por intervalo proporciona un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza.
Ejemplo: Intervalo de Confianza para la Media
El intervalo de confianza para la media poblacional (\(\mu\)) cuando la desviación estándar poblacional (\(\sigma\)) es conocida se calcula como:
\[ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
Donde:
- \( \bar{x} \) es la media muestral.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza dado.
- \( \sigma \) es la desviación estándar poblacional.
- \( n \) es el tamaño de la muestra.
Ejercicio Práctico
Supongamos que tenemos una muestra con una media de 50, una desviación estándar poblacional de 10 y un tamaño de muestra de 25. Calcule el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
Solución: \[ Z_{0.025} = 1.96 \] \[ \text{Error estándar} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = 50 \pm 1.96 \times 2 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = 50 \pm 3.92 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = (46.08, 53.92) \]
Evaluación de las Estimaciones
Sesgo
El sesgo de un estimador es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el valor verdadero del parámetro.
\[ \text{Sesgo}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta \]
Donde:
- \( \hat{\theta} \) es el estimador.
- \( \theta \) es el parámetro verdadero.
Varianza
La varianza de un estimador mide la dispersión de las estimaciones alrededor del valor esperado del estimador.
\[ \text{Var}(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - E(\hat{\theta}))^2] \]
Error Cuadrático Medio (ECM)
El ECM combina el sesgo y la varianza para proporcionar una medida general de la precisión de un estimador.
\[ \text{ECM}(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) + \text{Sesgo}(\hat{\theta})^2 \]
Resumen
En esta sección, hemos cubierto los conceptos básicos de la estimación de parámetros, incluyendo la diferencia entre parámetros y estadísticos, y los tipos de estimaciones (puntual y por intervalo). También hemos aprendido a calcular la media muestral y el intervalo de confianza para la media poblacional. Finalmente, hemos discutido cómo evaluar la calidad de las estimaciones utilizando el sesgo, la varianza y el error cuadrático medio.
En la próxima sección, exploraremos las pruebas de hipótesis, que nos permitirán tomar decisiones informadas sobre las poblaciones basándonos en datos muestrales.