Terminaste la lección anterior con una advertencia: dos tiendas pueden tener la misma venta media y comportarse de forma completamente distinta. Marta te lo plantea ahora como encargo real: «Zaragoza-Centro y Bilbao-Casco facturan de media lo mismo, unos 44.000 € al día, pero el director de operaciones jura que Bilbao es imposible de planificar. Demuéstramelo con números». Para responder necesitas las medidas de dispersión, que cuantifican cuánto se alejan los datos de su centro. En esta lección aprenderás el rango, la varianza, la desviación típica (y por qué la versión muestral divide entre \( n-1 \)) y el coeficiente de variación, que permite comparar la variabilidad de cosas medidas en escalas distintas. Y verás por qué, en la empresa, dispersión se traduce casi siempre en una palabra: riesgo.

1. Por qué la media no basta
2. El rango
3. Desviaciones respecto a la media
4. La varianza
5. La desviación típica
6. Poblacional (\(\sigma\)) frente a muestral (\(s\)): el porqué del n−1
7. El coeficiente de variación
8. Lectura gerencial de la dispersión

Estas son las ventas diarias (en euros) de las dos tiendas durante la misma semana laborable de 5 días:

Comprueba las medias: \( 220.000 / 5 = 44.000 \) € en ambos casos. Si solo miraras la media (o incluso la mediana, que también es 44.000 € en las dos), dirías que las tiendas son gemelas. Pero mira los datos: Zaragoza se mueve como mucho 1.000 € arriba o abajo; Bilbao oscila 6.000 €. El director de operaciones tiene razón, y tu trabajo es ponerle un número a esa diferencia.

Una medida de tendencia central más una medida de dispersión forman el resumen mínimo honesto de una variable cuantitativa. Una sin la otra es información incompleta.

La medida de dispersión más simple es el rango: la diferencia entre el valor máximo y el mínimo.

\[ R = x_{\max} - x_{\min} \]

• Zaragoza-Centro: \( 45.000 - 43.000 = 2.000 \) €
• Bilbao-Casco: \( 50.000 - 38.000 = 12.000 \) €

Ya distingue las dos tiendas, y se calcula en dos segundos. Pero tiene limitaciones serias:

• Solo usa dos datos (los extremos) e ignora todo lo demás: no distingue si el resto de valores están pegados a la media o repartidos.
• Es extremadamente sensible a un valor atípico: un único día excepcional (una gran nevada, una promoción viral) dispara el rango.
• Tiende a crecer con el tamaño de la muestra: con más días observados, más fácil es capturar un extremo, así que comparar rangos de muestras de distinto tamaño es injusto.

Úsalo como primera exploración rápida, nunca como medida definitiva. (Existe una variante robusta, el rango intercuartílico, que verás en la lección Medidas de Posición y Valores Atípicos.)

La idea natural para medir dispersión es preguntarse: ¿a qué distancia está cada dato de la media? Esa distancia es la desviación: \( x_i - \bar{x} \).

Calculémoslas para Zaragoza-Centro (\( \bar{x} = 44.000 \)):

Primera tentación: promediar las desviaciones. Pero su suma es siempre exactamente cero —es la propiedad de "punto de equilibrio" de la media que viste en la lección anterior—, así que su promedio siempre sale 0 y no mide nada. Las desviaciones negativas cancelan a las positivas.

La solución clásica es elevar al cuadrado cada desviación antes de promediar: los cuadrados son siempre positivos, ya no se cancelan, y además penalizan más las desviaciones grandes (una desviación de 2.000 pesa cuatro veces más que una de 1.000, no el doble). De ahí nace la varianza.

La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado. Para una población de \( N \) valores con media \( \mu \):

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N} \]

Para una muestra de \( n \) valores con media \( \bar{x} \) (fíjate en el denominador, enseguida lo justificamos):

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]

Tratamos los 5 días como una muestra de cómo se comporta la tienda (queremos hablar de la tienda en general, no solo de esa semana).

Paso 1 — Desviaciones y cuadrados:

Paso 2 — Dividir entre \( n - 1 = 4 \):

\[ s^2 = \frac{2.500.000}{4} = 625.000 \text{ €}^2 \]

\[ s^2 = \frac{90.000.000}{4} = 22.500.000 \text{ €}^2 \]

La varianza de Bilbao es 36 veces la de Zaragoza. La diferencia queda clarísima… pero ¿qué significa "625.000 euros al cuadrado"? Nada interpretable: al elevar al cuadrado, las unidades también se elevaron. La varianza es una pieza técnica fundamental (reaparecerá constantemente en inferencia), pero no es la medida que comunicas a Marta.

La desviación típica (o desviación estándar) deshace el cuadrado: es la raíz cuadrada de la varianza, y vuelve a estar en las unidades originales.

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \qquad \text{(poblacional)} \qquad \qquad s = \sqrt{s^2} \qquad \text{(muestral)} \]

• Zaragoza-Centro: \( s = \sqrt{625.000} \approx 790{,}6 \) €
• Bilbao-Casco: \( s = \sqrt{22.500.000} \approx 4.743{,}4 \) €

Interpretación práctica: la desviación típica es, aproximadamente, la distancia "típica" de un dato cualquiera a la media. Un día normal de Zaragoza se aleja de sus 44.000 € unos 800 €; un día normal de Bilbao, casi 4.750 €. Ahora sí tienes la frase para Marta: «Las dos tiendas facturan de media 44.000 € diarios, pero la desviación típica de Bilbao (≈ 4.743 €) es unas seis veces la de Zaragoza (≈ 791 €): misma media, riesgo muy distinto».

Dos apuntes:

• La desviación típica nunca es negativa, y vale 0 solo si todos los datos son idénticos.
• Cuando los datos siguen la famosa "curva normal", la desviación típica permite reglas muy concretas del tipo "el 95 % de los días caen a menos de 2 desviaciones de la media". Esa regla empírica la verás con detalle en la lección de la Distribución Normal; por ahora quédate con la lectura de "distancia típica".
• Como se construye sobre la media, hereda su sensibilidad a valores extremos: un solo dato disparatado infla mucho \( s \). Recuérdalo cuando trabajemos con atípicos en la próxima lección.

Ya te habrá llamado la atención el denominador: \( N \) para la población, \( n-1 \) para la muestra. No es un capricho.

Cuándo usar cada una:

La intuición del n−1. Cuando trabajas con una muestra no conoces la verdadera media poblacional \( \mu \); usas en su lugar la media muestral \( \bar{x} \), calculada con los mismos datos. Y \( \bar{x} \) es, por construcción, el valor que hace las desviaciones al cuadrado lo más pequeñas posible: los datos siempre están más cerca de su propia media que de la media verdadera \( \mu \). Resultado: si divides entre \( n \), subestimas sistemáticamente la varianza de la población. Dividir entre \( n-1 \) agranda el resultado justo lo necesario para corregir ese sesgo (por eso a \( s^2 \) se le llama cuasivarianza o varianza corregida).

Otra forma de verlo: de las \( n \) desviaciones, solo \( n-1 \) son "libres", porque conocida la media, la última desviación queda obligada (deben sumar cero). Se dice que hay \( n-1 \) grados de libertad, un concepto que reaparecerá en el Módulo 5.

Con nuestros datos de Zaragoza: \( \sigma = \sqrt{2.500.000/5} = \sqrt{500.000} \approx 707{,}1 \) € frente a \( s \approx 790{,}6 \) €. Con \( n = 5 \) la diferencia se nota (un 12 %); con \( n = 500 \) sería irrelevante. Regla práctica: en la empresa casi siempre trabajas con muestras → usa \( n-1 \) por defecto (es lo que hacen las hojas de cálculo con sus funciones "muestrales"); la diferencia solo importa con muestras pequeñas.

La desviación típica está en las unidades de la variable, y eso, que era una ventaja para interpretar, se vuelve un problema para comparar dispersiones de variables con escalas o unidades distintas. ¿Qué varía más: los importes de los tickets o la satisfacción de los socios? Comparar 21,50 € con 1,6 puntos es comparar peras con manzanas.

El coeficiente de variación (CV) resuelve esto expresando la desviación típica como porcentaje de la media:

\[ CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100 \]

• Zaragoza-Centro: \( CV = 790{,}6 / 44.000 \times 100 \approx 1{,}8,% \)
• Bilbao-Casco: \( CV = 4.743{,}4 / 44.000 \times 100 \approx 10{,}8,% \)

Aquí las medias eran iguales y el CV no añade mucho. Su verdadero valor aparece cuando las escalas difieren.

Con los datos consolidados de NovaMarket:

Lectura: aunque la desviación típica de las ventas diarias (6.200 €) es enorme comparada con la de los tickets (21,50 €), en términos relativos los tickets son mucho más variables (66 % de su media frente a 14 %). Tiene toda la lógica de negocio: un ticket puede ser de 3 € o de 300 €, pero una tienda entera promedia miles de compras al día y sus totales son proporcionalmente más estables.

Precauciones con el CV:

• Solo tiene sentido con variables de escala de razón (cero real y valores positivos): euros, tiempos, unidades. Con temperaturas en °C o con escalas tipo 0–10 su interpretación es discutible (la satisfacción está en la tabla como ilustración; trátala con cautela).
• Si la media está cerca de cero, el CV explota y deja de ser interpretable.

Traduce siempre la dispersión al idioma del negocio. Con el caso Zaragoza/Bilbao:

• Planificación de plantillas: Zaragoza puede dimensionar cajas y reponedores casi en piloto automático; Bilbao necesita turnos flexibles para no pagar horas muertas los días flojos ni colapsar los fuertes.
• Gestión de stock: la variabilidad de la demanda obliga a Bilbao a mantener más stock de seguridad (más capital inmovilizado y más merma en frescos) para no romper stock los días punta.
• Tesorería y objetivos: con la misma media, Bilbao incumplirá su objetivo diario muchos más días (y lo superará otros tantos). Evaluar a sus responsables solo por días sueltos sería injusto.
• Riesgo y calidad de servicio: en los tiempos de entrega del e-commerce, la media importa menos que la dispersión: un cliente no percibe "la media de 24 h", percibe su entrega; una dispersión alta significa muchos clientes con experiencias malas aunque la media sea buena.
• Señal de investigación: una dispersión alta es a menudo una pregunta disfrazada: ¿qué hace diferentes a los días (o tiendas, o pedidos) buenos y malos? Detectarla es el primer paso de análisis que llegarán después (comparaciones entre grupos, regresión…).

La frase que debes grabarte: misma media, distinta dispersión = distinto riesgo y distinta gestión.

• Reportar una media sin su dispersión. «Ticket medio: 32,40 €» dice la mitad; «32,40 € con desviación típica de 21,50 €» describe el negocio real.
• Interpretar la varianza directamente. Sus unidades al cuadrado (€²) no significan nada para negocio; comunica siempre la desviación típica y guarda la varianza para los cálculos.
• Confundir \( \sigma \) y \( s \) o usar la fórmula poblacional con una muestra pequeña: subestimarás la variabilidad. Ante la duda, \( n-1 \).
• Comparar desviaciones típicas de variables con medias o unidades muy distintas. Para eso está el coeficiente de variación.
• Olvidar que \( s \) es sensible a atípicos. Un único valor de error (un ticket de 3.240 € que en realidad era de 32,40 €) puede multiplicar la desviación típica. Inspecciona extremos antes de calcular (siguiente lección).
• Consejo: verifica siempre que la suma de las desviaciones te dé 0 (o casi 0, por redondeos) antes de elevar al cuadrado; es el chequeo aritmético más barato que existe.

Ventas diarias de Valencia-Ruzafa la misma semana (en euros): 40.000 — 42.000 — 44.000 — 46.000 — 48.000.

1. Calcula la media, la varianza muestral \( s^2 \) y la desviación típica \( s \).
2. Sitúa la tienda entre Zaragoza-Centro (\( s \approx 791 \) €) y Bilbao-Casco (\( s \approx 4.743 \) €): ¿a cuál se parece más en estabilidad?

Dos operadores logísticos ofrecen el reparto del e-commerce. En una prueba con 60 pedidos cada uno, ambos consiguen un tiempo medio de entrega de 24 horas, pero el operador A tiene desviación típica de 3 horas y el B de 9 horas.

1. Sin hacer cuentas: ¿qué significa esa diferencia para la experiencia de los clientes?
2. Calcula el CV de cada operador. ¿Cuál recomendarías a Marta y con qué argumento gerencial?

Importes de ticket de dos tiendas: Madrid-Centro tiene media 34,10 € y desviación típica 24,50 €; Cuenca tiene media 27,80 € y desviación típica 12,30 €.

¿Qué tienda tiene tickets más variables en términos absolutos? ¿Y en términos relativos? Calcula ambos CV e interpreta.

Ejercicio 2.1:

1. Media: \( 220.000/5 = 44.000 \) €. Desviaciones: −4.000, −2.000, 0, +2.000, +4.000 (suman 0 ✓). Cuadrados: 16.000.000 + 4.000.000 + 0 + 4.000.000 + 16.000.000 = 40.000.000. Varianza muestral: \( s^2 = 40.000.000/4 = 10.000.000 \) €². Desviación típica: \( s = \sqrt{10.000.000} \approx 3.162{,}3 \) €.
2. Con \( s \approx 3.162 \) € (CV ≈ 7,2 %), Valencia-Ruzafa queda entre ambas, bastante más cerca del perfil variable de Bilbao que de la estabilidad de Zaragoza. Error frecuente: dividir entre \( n = 5 \) en lugar de \( n-1 = 4 \) (daría \( s \approx 2.828 \) €); son 5 días de muestra, no la población.

Ejercicio 2.2:

1. Con la misma media, el operador B tendrá muchas más entregas muy tempranas y, sobre todo, muy tardías: más clientes esperando 33, 40 o más horas. La media no captura esas malas experiencias; la dispersión sí.
2. \( CV_A = 3/24 \times 100 = 12{,}5,% \); \( CV_B = 9/24 \times 100 = 37{,}5,% \). Recomendación: el operador A, porque a igualdad de coste y de media ofrece un servicio predecible: menos incidencias, menos reclamaciones y la posibilidad de prometer plazos fiables al cliente. Error frecuente: concluir que "son iguales porque la media es la misma": es exactamente el error que esta lección enseña a evitar.

Ejercicio 2.3:

En términos absolutos, Madrid-Centro (24,50 € > 12,30 €). En términos relativos también: \( CV_{Madrid} = 24{,}50/34{,}10 \times 100 \approx 71{,}8,% \) frente a \( CV_{Cuenca} = 12{,}30/27{,}80 \times 100 \approx 44{,}2,% \). Interpretación: la clientela de Madrid-Centro es más heterogénea (mezcla compras pequeñas de paso con grandes compras, incluidos negocios de hostelería), mientras que Cuenca tiene un patrón de compra más homogéneo. Nota: aquí ambos veredictos coinciden, pero no siempre ocurre: cuando las medias difieren mucho, solo el CV permite una comparación justa.

Ahora sabes medir lo que la media esconde: el rango como vistazo rápido, la varianza como pieza técnica, la desviación típica como "distancia típica a la media" en unidades reales (dividiendo entre \( n-1 \) cuando trabajas con muestras) y el coeficiente de variación para comparar variabilidades entre escalas distintas. Y sabes traducirlo al idioma de Marta: misma media con distinta dispersión significa distinto riesgo, distinto stock, distintas plantillas.

Media y desviación típica describen el centro y la anchura de los datos, pero siguen sin decirte dónde cae un dato concreto dentro del conjunto: ¿es un ticket de 95 € algo notable o algo extraordinario? ¿A partir de qué tiempo de entrega un pedido es un caso raro que investigar? Para responder necesitas las medidas de posición —cuartiles, percentiles, puntuaciones z— y las herramientas para detectar valores atípicos. Es el contenido de la próxima lección: Medidas de Posición y Valores Atípicos.