La encuesta de satisfacción de NovaMarket ha vuelto del campo: 640 respuestas esperan en tu bandeja de entrada, junto con los tickets del último trimestre y los registros de entregas del e-commerce. Marta pasa por tu mesa y resume el encargo en una frase: «No me traigas 640 números; tráeme uno que los represente bien». Ese es exactamente el propósito de las medidas de tendencia central: condensar un conjunto de datos en un valor "típico" o "central". En esta lección aprenderás las tres principales —media, mediana y moda—, sus variantes útiles (media ponderada, recortada y geométrica) y, sobre todo, el criterio para elegir cuál contar a Marta en cada ocasión, porque elegir mal no es un error técnico menor: puede cambiar una decisión de negocio.

1. ¿Qué es una medida de tendencia central?
2. La media aritmética
3. La media ponderada
4. La mediana
5. La moda
6. El efecto de los valores extremos y la media recortada
7. ¿Cuál uso? Criterios de elección
8. La media geométrica para tasas de crecimiento

Una medida de tendencia central es un único número que intenta representar el "centro" de un conjunto de datos, el valor alrededor del cual se agrupan las observaciones. Es la forma más básica —y más usada— de resumen estadístico.

Que existan tres medidas principales (y no una) ya te dice algo importante: el "centro" de unos datos no es un concepto único. Cada medida define el centro de una manera distinta:

En muchos conjuntos de datos las tres coinciden aproximadamente y da casi igual cuál uses. Pero en los datos reales de NovaMarket —con tickets ocasionales enormes, satisfacciones concentradas en notas altas— pueden separarse mucho, y entonces la elección importa.

La media aritmética (o simplemente media) es la suma de todos los valores dividida entre el número de valores. Para una muestra de \( n \) observaciones \( x_1, x_2, \dots, x_n \):

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Recuerda de la lección Conceptos Básicos la notación: \( \bar{x} \) (se lee "x barra") es la media de una muestra (un estadístico), mientras que \( \mu \) es la media de la población (un parámetro).

Marta quiere un primer vistazo al importe de los tickets. Tomas una pequeña muestra de 10 tickets de la tienda Madrid-Centro de ayer por la tarde (en euros):

\[ 12{,}50 \quad 18{,}90 \quad 22{,}40 \quad 27{,}30 \quad 29{,}80 \quad 31{,}60 \quad 38{,}20 \quad 45{,}70 \quad 52{,}10 \quad 289{,}00 \]

(El ticket de 289,00 € es real: un bar del barrio hizo su compra semanal.)

Paso 1 — Sumar todos los valores:

\[ 12{,}50 + 18{,}90 + 22{,}40 + 27{,}30 + 29{,}80 + 31{,}60 + 38{,}20 + 45{,}70 + 52{,}10 + 289{,}00 = 567{,}50 \text{ €} \]

Paso 2 — Dividir entre el número de observaciones (\( n = 10 \)):

\[ \bar{x} = \frac{567{,}50}{10} = 56{,}75 \text{ €} \]

La media es 56,75 €. Fíjate en algo incómodo: 9 de los 10 tickets están por debajo de la media. Ese único ticket de 289 € ha "tirado" de la media hacia arriba. Volveremos sobre esto enseguida, porque es la debilidad principal de la media.

• Usa toda la información: cada valor influye en el resultado.
• Es el punto de equilibrio: la suma de las desviaciones respecto a la media es siempre cero (los datos "pesan" lo mismo a ambos lados).
• Permite recuperar el total: si el ticket medio es 32,40 € y ayer hubo 57.000 tickets en toda la cadena, la venta total fue \( 32{,}40 \times 57.000 = 1.846.800 \) €. Ni la mediana ni la moda permiten este cálculo; por eso finanzas trabaja casi siempre con medias.
• Solo tiene sentido para variables cuantitativas (y, por la convención vista en Tipos de Datos, para ordinales tipo satisfacción 0–10 tratadas como intervalo).

A veces no todos los valores deben pesar lo mismo. La media ponderada asigna a cada valor \( x_i \) un peso \( w_i \):

\[ \bar{x}w = \frac{\sum{i=1}^{n} w_i , x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Marta te pasa el ticket medio de tres tiendas y te pide "el ticket medio conjunto":

Tentación (incorrecta): promediar los tres números sin más:

\[ \frac{34{,}10 + 31{,}90 + 27{,}80}{3} = \frac{93{,}80}{3} \approx 31{,}27 \text{ €} \]

Esto trata a Cuenca (420 tickets) como si pesara lo mismo que Madrid-Centro (1.250 tickets). No representa el ticket "típico" de un cliente cualquiera de las tres tiendas.

Cálculo correcto (ponderando por número de tickets):

\[ \bar{x}_w = \frac{34{,}10 \times 1.250 + 31{,}90 \times 980 + 27{,}80 \times 420}{1.250 + 980 + 420} = \frac{42.625 + 31.262 + 11.676}{2.650} = \frac{85.563}{2.650} \approx 32{,}29 \text{ €} \]

La diferencia (32,29 € frente a 31,27 €) parece pequeña, pero aplicada a millones de tickets anuales se traduce en previsiones de ingresos muy distintas. De hecho, el ticket medio de referencia de NovaMarket, 32,40 €, es una media ponderada de las 42 tiendas: las tiendas grandes pesan más porque emiten más tickets.

Regla práctica: siempre que promedies medias (de tiendas, de canales, de meses), pregúntate si los grupos tienen tamaños distintos. Si los tienen, pondera.

La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor: deja el 50 % de las observaciones por debajo y el 50 % por encima.

Cálculo:

1. Ordena los datos.
2. Si \( n \) es impar, la mediana es el valor en la posición \( \frac{n+1}{2} \).
3. Si \( n \) es par, es la media de los dos valores centrales (posiciones \( \frac{n}{2} \) y \( \frac{n}{2}+1 \)).

Los datos ya ordenados (n = 10, par):

\[ 12{,}50 ;; 18{,}90 ;; 22{,}40 ;; 27{,}30 ;; \underbrace{29{,}80 ;; 31{,}60}_{\text{posiciones 5 y 6}} ;; 38{,}20 ;; 45{,}70 ;; 52{,}10 ;; 289{,}00 \]

\[ \text{Mediana} = \frac{29{,}80 + 31{,}60}{2} = 30{,}70 \text{ €} \]

Compara: media 56,75 €, mediana 30,70 €. La mediana describe mucho mejor el ticket "típico" de esa tarde, porque no le afecta que el ticket máximo sea 289 € o 2.890 €: solo cuenta cuántos valores hay a cada lado, no cuánto valen los extremos. Se dice que la mediana es una medida robusta.

La mediana requiere poder ordenar los datos: sirve para variables cuantitativas y también para ordinales (puedes hablar de la satisfacción mediana), pero no para nominales (no existe la "forma de pago mediana").

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Es la única medida de tendencia central válida para variables nominales.

Ejemplos en NovaMarket:

• En los tickets de ayer, la forma de pago más frecuente fue tarjeta (61 % de los tickets): esa es la moda. No hay media ni mediana posibles de la forma de pago.
• Marta revisa una submuestra de 15 respuestas de la encuesta de satisfacción (escala 0–10):

La moda es 9 (5 respuestas). La mediana es la posición \( (15+1)/2 = 8 \) de los datos ordenados, que también cae en el 9. La media es \( 124/15 \approx 8{,}27 \). Que las tres estén tan cerca ya anticipa lo que confirmarás con las 640 respuestas: una distribución concentrada en notas altas.

Notas sobre la moda:

• Puede no existir (si ningún valor se repite) o haber varias (distribuciones bimodales; las verás gráficamente en Representación Gráfica de Datos).
• En variables continuas (importes exactos, tiempos) casi ningún valor se repite, así que la moda se calcula sobre datos agrupados en intervalos (el "intervalo modal") o directamente no se usa.
• En negocio es muy expresiva: «el producto más vendido», «la franja horaria con más afluencia» son modas.

Ya lo has visto con el ticket de 289 €: la media es sensible a los valores extremos; la mediana, no. Comprobémoslo quitando ese ticket:

Un solo valor movió la media 25,81 € (de 30,94 a 56,75) y la mediana apenas 0,90 €. En variables como importes de compra, salarios, patrimonios o tiempos de espera —donde unos pocos valores enormes son normales— la media puede dar una imagen engañosa del caso típico.

Un compromiso entre ambas es la media recortada (trimmed mean): se elimina un pequeño porcentaje de los valores más bajos y más altos (por ejemplo, el 10 % de cada extremo) y se promedia el resto. Con nuestros 10 tickets, recortar el 10 % por cada lado significa descartar el mínimo (12,50) y el máximo (289,00):

\[ \bar{x}_{\text{rec}} = \frac{18{,}90 + 22{,}40 + 27{,}30 + 29{,}80 + 31{,}60 + 38{,}20 + 45{,}70 + 52{,}10}{8} = \frac{266{,}00}{8} = 33{,}25 \text{ €} \]

Aquí basta con que sepas que existe y para qué sirve: es habitual en indicadores oficiales y en deportes (puntuaciones de jueces). En este curso trabajaremos normalmente con media y mediana.

Dos preguntas deciden casi siempre la elección: ¿de qué tipo es la variable? y ¿hay asimetría o valores extremos?

Una pista diagnóstica muy útil: compara media y mediana.

• Media ≈ mediana → distribución aproximadamente simétrica; la media es segura.
• Media claramente mayor que la mediana → hay valores altos tirando de ella (asimetría hacia la derecha, típica de importes).
• Media claramente menor que la mediana → valores bajos tirando de ella (asimetría hacia la izquierda, típica de notas de satisfacción altas: la media 8,1 de la encuesta quedará por debajo de su mediana).

Y un consejo profesional: cuando la diferencia entre ambas sea grande, informa de las dos. «El ticket medio fue 56,75 €, pero el ticket mediano fue 30,70 €: la media está inflada por unas pocas compras muy grandes» es una frase que a Marta le da más información que cualquiera de los dos números por separado.

Hay un caso en que la media aritmética falla estrepitosamente: promediar tasas de variación que se aplican en cadena (crecimientos porcentuales año a año, rentabilidades, etc.).

Las ventas de la tienda online de NovaMarket evolucionaron así:

Media aritmética de las tasas: \( (20 + 50 - 30)/3 = 13{,}3 \) % anual. Pero si las ventas hubieran crecido de verdad un 13,3 % cada año, en el año 3 serían \( 1.000.000 \times 1{,}133^3 \approx 1.454.000 \) €… y en realidad son 1.260.000 €. La media aritmética sobreestima el crecimiento, porque los porcentajes se componen multiplicándose, no sumándose.

La medida correcta es la media geométrica de los factores de crecimiento:

\[ \bar{x}_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

Paso 1 — Multiplicar los factores: \( 1{,}20 \times 1{,}50 \times 0{,}70 = 1{,}26 \)

Paso 2 — Raíz n-ésima (n = 3 años): \( \bar{x}_G = \sqrt[3]{1{,}26} \approx 1{,}080 \)

El crecimiento medio anual real es del 8,0 %. Comprobación: \( 1.000.000 \times 1{,}080^3 \approx 1.259.700 \) €, que coincide (salvo redondeo) con los 1.260.000 € reales.

Regla: para promediar porcentajes de variación encadenados, convierte cada tasa en factor (\( 1 + \text{tasa} \)), calcula la media geométrica de los factores y vuelve a restar 1.

• Reportar solo la media en variables asimétricas. Con importes, gastos o tiempos, acompaña siempre la media de la mediana (o usa directamente la mediana). Si media ≫ mediana, dilo explícitamente.
• Promediar medias sin ponderar. El "promedio de los tickets medios de las 42 tiendas" no es el ticket medio de NovaMarket, salvo que todas las tiendas emitan el mismo número de tickets (no lo hacen). Pondera por tamaño.
• Calcular medias de variables nominales codificadas con números. Si "tarjeta = 1, efectivo = 2, app = 3", una media de 1,7 no significa nada. Los códigos numéricos no convierten una variable nominal en cuantitativa (repasa Tipos de Datos).
• Usar la media aritmética con tasas de crecimiento. Para variaciones encadenadas, media geométrica de los factores.
• Olvidar el contexto de la unidad de análisis. «El gasto medio es 32,40 €» (por ticket) y «el gasto medio es 187 €» (por cliente y mes) pueden convivir; especifica siempre por qué unidad estás promediando.
• Consejo: antes de calcular nada, ordena los datos (aunque sea mentalmente) y mira los extremos. Diez segundos mirando el máximo y el mínimo evitan muchas interpretaciones erróneas.

Una muestra de 8 tickets de la tienda Sevilla-Nervión (en euros): 8,90 — 15,40 — 21,70 — 26,30 — 28,10 — 34,60 — 41,00 — 196,00.

1. Calcula la media y la mediana.
2. ¿Cuál de las dos comunicarías a Marta como "ticket típico" de esa muestra y por qué?
3. Recalcula la media sin el ticket de 196,00 €. ¿Cuánto cambia? ¿Y la mediana?

Las 640 respuestas de la encuesta de satisfacción se reparten según los estratos por canal diseñados en la lección Recolección de Datos y Muestreo: 448 de clientes de tienda física, 128 de clientes online y 64 de clientes de la app. Las medias de satisfacción por canal son:

Calcula la satisfacción media global de las 640 respuestas. ¿Por qué sería incorrecto calcular \( (8{,}3 + 7{,}6 + 7{,}9)/3 \)?

El número de socios del Club Nova varió un +15 % el primer año, un +5 % el segundo y un −8 % el tercero.

1. Calcula el crecimiento medio anual con la media geométrica.
2. Compara con la media aritmética de las tasas. ¿Cuál usarías para proyectar el número de socios a futuro?

Ejercicio 1:

1. Suma: \( 8{,}90 + 15{,}40 + 21{,}70 + 26{,}30 + 28{,}10 + 34{,}60 + 41{,}00 + 196{,}00 = 372{,}00 \) €. Media: \( 372{,}00 / 8 = 46{,}50 \) €. Mediana (n = 8, par; valores centrales en posiciones 4 y 5): \( (26{,}30 + 28{,}10)/2 = 27{,}20 \) €.
2. La mediana (27,20 €): la media (46,50 €) está por encima de 7 de los 8 tickets, arrastrada por la compra de 196 €. Como "ticket típico" es engañosa. (Idealmente, comunica ambas y explica la diferencia.)
3. Sin el extremo: \( 176{,}00 / 7 \approx 25{,}14 \) €. La media cae 21,36 € (de 46,50 a 25,14). La nueva mediana es el 4.º valor de 7: 26,30 € — apenas se mueve (0,90 €). Error frecuente: olvidar reordenar y recontar posiciones al quitar un dato; la posición de la mediana depende de \( n \).

Ejercicio 2:

\[ \bar{x}_w = \frac{8{,}3 \times 448 + 7{,}6 \times 128 + 7{,}9 \times 64}{640} = \frac{3.718{,}4 + 972{,}8 + 505{,}6}{640} = \frac{5.196{,}8}{640} \approx 8{,}1 \]

La media global es 8,1 (coincide con la cifra oficial de la encuesta). La media sin ponderar, \( (8{,}3+7{,}6+7{,}9)/3 = 7{,}93 \), es incorrecta porque da a los 64 encuestados de la app el mismo peso que a los 448 de tienda: infravalora la satisfacción global. Error frecuente: dividir entre 3 (número de grupos) en lugar de entre 640 (suma de pesos).

Ejercicio 3:

1. Factores: 1,15, 1,05 y 0,92. Producto: \( 1{,}15 \times 1{,}05 \times 0{,}92 = 1{,}1109 \). Media geométrica: \( \sqrt[3]{1{,}1109} \approx 1{,}0357 \) → crecimiento medio anual ≈ 3,6 %.
2. Media aritmética: \( (15 + 5 - 8)/3 = 4{,}0 \) %. Para proyectar hay que usar la geométrica (3,6 %): es la única tasa constante que, aplicada tres años, reproduce el crecimiento total real (+11,1 %). Error frecuente: promediar los porcentajes directamente (\( (0{,}15+0{,}05-0{,}08)/3 \)) en vez de los factores; con tasas negativas el error se agranda.

Ya sabes resumir un conjunto de datos en un valor central y, más importante, sabes elegir ese valor: media para totales y datos simétricos, media ponderada cuando los grupos pesan distinto, mediana cuando hay asimetría o extremos, moda para variables nominales y media geométrica para crecimientos encadenados. También has aprendido un reflejo profesional: comparar media y mediana como primer diagnóstico de la forma de los datos.

Pero un valor central, por bien elegido que esté, cuenta solo la mitad de la historia. Dos tiendas de NovaMarket pueden vender de media exactamente lo mismo y ser, una, un negocio estable y previsible y, la otra, una montaña rusa que complica el stock y las plantillas. Para distinguirlas necesitas medir cuánto se alejan los datos de su centro: eso son las Medidas de Dispersión, el tema de la siguiente lección.