Las medidas de tendencia central son estadísticas que describen el centro de un conjunto de datos. Estas medidas son fundamentales para resumir y comprender los datos, ya que proporcionan una idea de dónde se encuentra el "centro" de los datos. Las tres medidas de tendencia central más comunes son la media, la mediana y la moda.
- Media
Definición
La media, también conocida como promedio, es la suma de todos los valores dividida por el número total de valores.
Fórmula
Para un conjunto de datos \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), la media (\( \overline{x} \)) se calcula como:
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Ejemplo
Supongamos que tenemos los siguientes datos: 5, 7, 3, 8, 10.
\[ \overline{x} = \frac{5 + 7 + 3 + 8 + 10}{5} = \frac{33}{5} = 6.6 \]
Ejercicio
Calcule la media de los siguientes datos: 12, 15, 11, 14, 13.
Solución:
\[ \overline{x} = \frac{12 + 15 + 11 + 14 + 13}{5} = \frac{65}{5} = 13 \]
- Mediana
Definición
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor del medio. Si es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.
Ejemplo
Para los datos 3, 5, 7, 8, 10 (ordenados):
- Número impar de datos: La mediana es 7 (el valor central).
Para los datos 3, 5, 7, 8, 10, 12 (ordenados):
- Número par de datos: La mediana es el promedio de 7 y 8.
\[ \text{Mediana} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5 \]
Ejercicio
Encuentre la mediana de los siguientes datos: 20, 15, 10, 25, 30.
Solución:
- Ordenar los datos: 10, 15, 20, 25, 30.
- Número impar de datos: La mediana es 20.
- Moda
Definición
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Un conjunto de datos puede tener una moda, más de una moda (bimodal, multimodal) o ninguna moda.
Ejemplo
Para los datos 4, 2, 4, 3, 2, 4:
- La moda es 4 (aparece tres veces).
Ejercicio
Encuentre la moda de los siguientes datos: 6, 8, 6, 10, 12, 6, 8.
Solución:
- La moda es 6 (aparece tres veces).
Comparación de Medidas de Tendencia Central
| Medida | Ventajas | Desventajas |
|---|---|---|
| Media | Utiliza todos los datos, fácil de calcular | Afectada por valores extremos (outliers) |
| Mediana | No afectada por valores extremos, útil para datos sesgados | No utiliza toda la información de los datos |
| Moda | Fácil de identificar en datos categóricos | Puede no ser única o no existir |
Resumen
En esta sección, hemos aprendido sobre las tres medidas de tendencia central más comunes: la media, la mediana y la moda. Cada una tiene sus propias ventajas y desventajas, y es importante elegir la medida adecuada según el contexto y la naturaleza de los datos. La media es útil para datos sin valores extremos, la mediana es robusta frente a valores extremos y la moda es útil para datos categóricos.
Ejercicio Final
Dado el siguiente conjunto de datos: 18, 22, 20, 18, 24, 22, 18, 20, 24, 22.
- Calcule la media.
- Encuentre la mediana.
- Determine la moda.
Solución:
- Media:
\[ \overline{x} = \frac{18 + 22 + 20 + 18 + 24 + 22 + 18 + 20 + 24 + 22}{10} = \frac{208}{10} = 20.8 \]
-
Mediana:
- Ordenar los datos: 18, 18, 18, 20, 20, 22, 22, 22, 24, 24.
- Número par de datos: La mediana es el promedio de 20 y 22.
\[ \text{Mediana} = \frac{20 + 22}{2} = 21 \]
-
Moda:
- La moda es 18 (aparece tres veces).
Con esto, hemos concluido la sección sobre medidas de tendencia central. En la siguiente sección, exploraremos las medidas de dispersión, que nos ayudarán a entender la variabilidad de los datos.