En la lección de Errores, Potencia y Tamaño Muestral dejamos una deuda pendiente: cuando quisimos comparar las 42 tiendas de NovaMarket a base de contrastes t de dos en dos, descubrimos que multiplicar comparaciones dispara la probabilidad de falsas alarmas, y prometimos una herramienta que compara muchos grupos a la vez con un único contraste. Esa herramienta es el Análisis de Varianza (ANOVA, por ANalysis Of VAriance), y su lógica es una elegante paradoja: para comparar medias, analiza varianzas — en concreto, compara cuánto varían los grupos entre sí con cuánto varía la gente dentro de cada grupo. En esta lección construiremos esa lógica desde cero, calcularemos a mano una tabla ANOVA completa con datos de satisfacción de tres formatos de tienda, aprenderemos a leer la tabla de la distribución F, repasaremos los supuestos del método y veremos qué hacer después de rechazar: las comparaciones post-hoc y el tamaño del efecto.

1. Por qué no hacer muchos contrastes t: la deuda del Módulo 5
2. La lógica del ANOVA: variabilidad entre grupos vs dentro de grupos
3. Hipótesis y datos del caso: satisfacción en tres formatos de tienda
4. La tabla ANOVA paso a paso: SC, gl, CM y F
5. La distribución F y cómo leer su tabla
6. Supuestos del ANOVA (versión operativa)
7. Después de rechazar: comparaciones post-hoc (Tukey y Bonferroni)
8. ¿Cómo de grande es el efecto? Eta cuadrado
9. Hasta dónde llega esta lección: dos factores y alternativas no paramétricas

Marta quiere saber si la satisfacción del cliente depende del formato de tienda. NovaMarket opera tres formatos: Express (urbano, pequeño), Estándar (supermercado de barrio) y Gran Superficie. Comparar tres grupos con contrastes t exige tres comparaciones (Express–Estándar, Express–Gran Superficie, Estándar–Gran Superficie), y ya sabemos lo que eso significa: si cada contraste tiene un 5 % de riesgo de falsa alarma, la probabilidad de que al menos una de las tres dé un falso positivo es

\[ 1 - 0{,}95^3 = 1 - 0{,}857 = 0{,}143 \]

un 14,3 % — casi el triple del 5 % pactado. Con más grupos el problema explota (recordemos el experimento mental de las 42 tiendas del Módulo 5, con un 88 % de probabilidad de alguna falsa alarma). El ANOVA resuelve el problema de raíz: plantea una única hipótesis global con un único α:

• \( H_0: \mu_{\text{Express}} = \mu_{\text{Estándar}} = \mu_{\text{Gran Sup.}} \) — todas las medias son iguales; el formato no influye
• \( H_1: \) al menos una media es distinta

Ojo al matiz de \( H_1 \): rechazar \( H_0 \) dice que «no todas son iguales», no cuáles difieren. Ese segundo paso vendrá después, con las comparaciones post-hoc.

¿Cómo se detecta con varianzas si unas medias difieren? Piensa en dos escenarios con las mismas tres medias muestrales (7, 8 y 9):

• Escenario A: dentro de cada formato, las tiendas puntúan casi idéntico (todas las Express entre 6,8 y 7,2…). Las diferencias entre los grupos (7 vs 8 vs 9) destacan nítidas sobre ese silencio interno: parecen reales.
• Escenario B: dentro de cada formato hay de todo (tiendas Express entre 4 y 10…). Unas medias de 7, 8 y 9 podrían ser perfectamente fruto del azar muestral: la señal se ahoga en el ruido.

El ANOVA formaliza esa intuición con un cociente señal/ruido:

\[ F = \frac{\text{variabilidad ENTRE grupos (señal: lo que separa las medias)}}{\text{variabilidad DENTRO de los grupos (ruido: lo que varía la gente por azar)}} \]

• Si \( H_0 \) es cierta, ambas variabilidades estiman lo mismo (la varianza natural de la población) y F rondará el valor 1.
• Si algún grupo tiene una media distinta, la variabilidad entre se infla y F crece muy por encima de 1.

La pregunta «¿cuánto tiene que valer F para rechazar?» la responderá la distribución F. Antes, los cálculos.

El equipo de Marta toma una muestra de 5 tiendas de cada formato y calcula la satisfacción media de los clientes de cada tienda (escala 0–10, redondeada a enteros para el cálculo a mano):

En total \( N = 15 \) observaciones, \( k = 3 \) grupos, y la media global es \( \bar{x} = (35+40+45)/15 = 120/15 = 8{,}0 \). Las medias muestrales difieren (7, 8, 9), pero ya sabemos que eso solo no basta: hay que pesar la señal contra el ruido.

El corazón del ANOVA es la misma descomposición de variabilidad que vimos en la regresión: la suma de cuadrados total se parte en dos trozos.

\[ \underbrace{\sum_{j}\sum_{i} (x_{ij} - \bar{x})^2}{\text{SC Total}} ;=; \underbrace{\sum{j} n_j (\bar{x}j - \bar{x})^2}{\text{SC Entre}} ;+; \underbrace{\sum_{j}\sum_{i} (x_{ij} - \bar{x}j)^2}{\text{SC Dentro}} \]

Paso 1 — SC Entre (cada media de grupo frente a la global, ponderada por su tamaño):

\[ \text{SC}_{\text{Entre}} = 5(7-8)^2 + 5(8-8)^2 + 5(9-8)^2 = 5 + 0 + 5 = 10 \]

Paso 2 — SC Dentro (cada observación frente a la media de su grupo):

\[ \text{SC}{\text{Dentro}} = 2 + 2 + 2 = 6 \qquad\qquad \text{SC}{\text{Total}} = 10 + 6 = 16 ; \checkmark \]

Paso 3 — Grados de libertad. Entre: \( k - 1 = 2 \). Dentro: \( N - k = 12 \). (Total: \( N - 1 = 14 = 2 + 12 \), la comprobación de siempre.)

Paso 4 — Cuadrados medios: cada SC dividida por sus gl, que la convierte en una varianza comparable:

\[ \text{CM}{\text{Entre}} = \frac{10}{2} = 5{,}0 \qquad\qquad \text{CM}{\text{Dentro}} = \frac{6}{12} = 0{,}5 \]

Paso 5 — El estadístico F y la tabla completa, en el formato estándar con que la presenta cualquier informe o programa:

La señal es diez veces el ruido. ¿Es suficiente para rechazar?

Bajo \( H_0 \), el cociente \( F = \text{CM}{\text{Entre}}/\text{CM}{\text{Dentro}} \) sigue la distribución F (de Fisher), que es nueva en el curso, así que presentémosla bien:

• Es la distribución de un cociente de dos varianzas: solo toma valores positivos y es asimétrica con cola a la derecha.
• Depende de dos grados de libertad: los del numerador (entre grupos, aquí 2) y los del denominador (dentro, aquí 12). Se escribe \( F_{2;,12} \).
• El contraste es siempre unilateral derecho: solo los F grandes (mucha señal frente al ruido) desmienten a \( H_0 \).

Cómo leer la tabla F: a diferencia de la tabla t (una fila por gl), la tabla F es una rejilla de doble entrada para un α fijo (hay una tabla para α = 0,05, otra para 0,01…). En la tabla de α = 0,05: busca la columna de los gl del numerador (2) y la fila de los gl del denominador (12); el cruce da el valor crítico. Un extracto:

El crítico es \( F_{0{,}05;,2;,12} = 3{,}89 \). Como nuestro \( F = 10{,}0 > 3{,}89 \), rechazamos \( H_0 \) al 5 % (de hecho también al 1 %: \( F_{0{,}01;,2;,12} = 6{,}93 \); el valor p es < 0,01). Conclusión para Marta: la satisfacción no es la misma en los tres formatos — el formato de tienda importa. Cuidado con el orden de los gl: \( F_{2;12} \neq F_{12;2} \); numerador siempre primero.

Como todo contraste, el ANOVA se apoya en supuestos. En versión práctica:

Si la normalidad falla gravemente con muestras pequeñas, o los datos son ordinales, existe una alternativa por rangos (la prueba de Kruskal-Wallis), que veremos entre los Métodos No Paramétricos.

El F significativo dice «no todas las medias son iguales», pero Marta preguntará de inmediato: «¿cuáles difieren?». Responder exige volver a las comparaciones por pares — pero ahora con protección contra la inflación del error tipo I. Las dos estrategias más comunes:

• Corrección de Bonferroni (ya la conocemos del Módulo 5): repartir α entre las \( m \) comparaciones, exigiendo a cada una \( \alpha' = \alpha/m \). Con 3 comparaciones, \( \alpha' = 0{,}05/3 = 0{,}0167 \). Sencilla y válida siempre, aunque conservadora.
• Prueba HSD de Tukey: diseñada específicamente para «todas las parejas tras un ANOVA». Calcula una diferencia mínima honesta (HSD) a partir del CM Dentro y del número de grupos: cualquier par de medias que difiera más que la HSD se declara distinto, manteniendo el 5 % de error global para el conjunto de comparaciones. Es la opción estándar de los programas estadísticos y algo más potente que Bonferroni en este uso.

Apliquemos Bonferroni a nuestro caso. El error típico de una diferencia de medias, usando el CM Dentro como varianza común, es

\[ \text{ET} = \sqrt{\text{CM}_{\text{Dentro}}\left(\tfrac{1}{n_1}+\tfrac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{0{,}5 \times \tfrac{2}{5}} = \sqrt{0{,}2} = 0{,}447 \]

(Tukey llega aquí a la misma conclusión.) El resultado es muy instructivo: el ANOVA global es rotundo, y el post-hoc localiza con claridad la diferencia entre los formatos extremos (Express vs Gran Superficie), mientras que las diferencias de 1 punto entre formatos vecinos, con solo 5 tiendas por grupo, no alcanzan la significación corregida — son sugerentes, pero harían falta más tiendas para confirmarlas (potencia, como vimos en 05-04). Informe honesto para Marta: «el formato influye en la satisfacción; la brecha demostrada es entre Express (7,0) y Gran Superficie (9,0); las comparaciones intermedias apuntan en la misma dirección pero requieren más muestra».

Significativo, sí — pero ¿importante? Igual que en el Módulo 5 distinguimos significación de relevancia, el ANOVA tiene su medida de tamaño del efecto: eta cuadrado, la proporción de la variabilidad total atribuible al factor:

\[ \eta^2 = \frac{\text{SC}{\text{Entre}}}{\text{SC}{\text{Total}}} = \frac{10}{16} = 0{,}625 \]

El formato de tienda explica el 62,5 % de la variabilidad de la satisfacción en la muestra — un efecto grande (orientativamente: ~0,01 pequeño, ~0,06 mediano, ~0,14 grande). Fíjate en el paralelismo exacto con el R² de la regresión: mismo concepto, factor categórico en lugar de variable continua.

Lo construido aquí es el ANOVA de un factor (una sola variable de agrupación). Existe el ANOVA de dos factores, que analiza simultáneamente, por ejemplo, formato y región — incluida la posibilidad de interacción (que el efecto del formato sea distinto según la región) —; su mecánica extiende la misma descomposición de sumas de cuadrados y queda fuera de nuestro alcance introductorio. Y cuando los supuestos no se sostienen, la alternativa por rangos (Kruskal-Wallis) espera en los Métodos No Paramétricos.

• Hacer contrastes t por pares sin corrección en lugar de (o después de) un ANOVA. Es la fábrica de falsas alarmas del Módulo 5; el ANOVA existe precisamente para evitarla.
• Interpretar el rechazo como «todas las medias difieren». \( H_1 \) solo afirma que al menos una difiere; sin post-hoc no sabes cuál. Y al revés: no rechazar no demuestra que sean iguales.
• Invertir los grados de libertad al leer la tabla F. \( F_{2;12} = 3{,}89 \) pero \( F_{12;2} = 19{,}4 \): numerador (entre) primero, siempre.
• Buscar la cola izquierda. El contraste F del ANOVA es unilateral derecho; un F cercano a 0 no «demuestra igualdad», solo indica grupos anormalmente parecidos (a veces, síntoma de datos manipulados o dependientes).
• Olvidar comprobar las varianzas. Si un grupo tiene una dispersión mucho mayor (regla rápida: s máxima > 2 × s mínima), el F pierde fiabilidad; considera transformar los datos o el método no paramétrico.
• Quedarse en el valor p sin tamaño del efecto. Con muestras enormes, diferencias triviales dan F significativos. Acompaña siempre el veredicto con \( \eta^2 \) y con las medias de los grupos en unidades reales.

Ejercicio 1. Operaciones prueba tres configuraciones de personal de caja y mide el tiempo medio de espera (minutos) en 4 tiendas por configuración:

Construye la tabla ANOVA completa y decide al 5 % si la configuración influye (\( F_{0{,}05;,2;,9} = 4{,}26 \)). Calcula también \( \eta^2 \).

Ejercicio 2. Un analista junior, en lugar del ANOVA del ejercicio 1, ejecuta los tres contrastes t posibles al 5 % y presenta como hallazgo el único que salió significativo. Explica los dos errores metodológicos y calcula la probabilidad de al menos una falsa alarma en su enfoque suponiendo que \( H_0 \) fuera cierta en las tres comparaciones.

Ejercicio 3. De un informe llega esta tabla ANOVA incompleta sobre el gasto medio de socios del Club Nova en 4 segmentos de antigüedad (6 socios por segmento, N = 24):

Completa las casillas y decide al 5 % (\( F_{0{,}05;,3;,20} = 3{,}10 \)).

Ejercicio 1. Media global = (20+28+24)/12 = 6. \( \text{SC}{\text{Entre}} = 4(5-6)^2 + 4(7-6)^2 + 4(6-6)^2 = 8 \). Dentro: A: 1+0+1+0 = 2; B: 1+0+0+1 = 2; C: 1+0+0+1 = 2; \( \text{SC}{\text{Dentro}} = 6 \). Tabla: SC 8 y 6; gl 2 y 9; CM 4 y 0,667; \( F = 4/0{,}667 = 6{,}0 \). Como 6,0 > 4,26, se rechaza \( H_0 \): la configuración influye en la espera. \( \eta^2 = 8/14 = 0{,}57 \). (De cara a la acción, el post-hoc apuntaría a la diferencia A vs B — ¡y cuidado con la lectura de negocio: el «refuerzo» B es el que muestra MÁS espera!) Error frecuente: olvidar multiplicar por \( n_j = 4 \) en la SC Entre, o usar N − 1 = 11 como gl del denominador en lugar de N − k = 9.

Ejercicio 2. Errores: (1) inflación del error tipo I — tres contrastes al 5 % acumulan \( 1 - 0{,}95^3 = 14{,}3,% \) de probabilidad de alguna falsa alarma, casi el triple de lo pactado; (2) informe selectivo (p-hacking, visto en 05-04): presentar solo el contraste significativo oculta el proceso de búsqueda y convierte un posible azar en «hallazgo». Lo correcto: ANOVA global primero y, solo si rechaza, post-hoc con corrección (Bonferroni: cada comparación al 0,05/3 = 0,0167), informando de las tres. Error frecuente: creer que la corrección es opcional si «solo» son 3 comparaciones — el 14,3 % ya casi triplica el riesgo nominal.

Ejercicio 3. \( \text{SC}_{\text{Dentro}} = 210 - 90 = 120 \). gl: entre = 3, dentro = 20, total = 23. CM: entre = 90/3 = 30; dentro = 120/20 = 6. \( F = 30/6 = 5{,}0 \). Como 5,0 > 3,10, se rechaza \( H_0 \): el gasto medio no es igual en los cuatro segmentos de antigüedad (con \( \eta^2 = 90/210 = 0{,}43 \), efecto grande). Faltaría un post-hoc para saber qué segmentos difieren. Error frecuente: calcular los gl entre como k = 4 en lugar de k − 1 = 3, con lo que todos los CM y el F salen mal en cascada.

El ANOVA salda la deuda del Módulo 5: en lugar de una peligrosa batería de contrastes t, un único contraste global que compara la variabilidad entre grupos con la variabilidad dentro de ellos mediante el estadístico F — en nuestro caso, F = 10 frente a un crítico de 3,89: el formato de tienda influye en la satisfacción, el efecto es grande (η² = 0,625) y el post-hoc con Bonferroni localiza la diferencia demostrada entre Express y Gran Superficie. Hemos añadido la distribución F y su tabla de doble entrada a nuestro arsenal, junto a la disciplina de comprobar supuestos y de acompañar cada valor p con su tamaño del efecto. Pero el ANOVA exige una variable respuesta cuantitativa (satisfacción, tiempos, euros). ¿Y cuando lo que queremos cruzar son dos variables categóricas — canal de compra y método de pago, tramo de edad y baja del club —, donde no hay medias que comparar sino frecuencias que contar? Para eso necesitamos la prueba chi-cuadrado, protagonista del Análisis de Datos Categóricos con el que cerramos el módulo.