El Análisis de Varianza (ANOVA) es una técnica estadística utilizada para comparar las medias de tres o más grupos y determinar si al menos una de las medias es significativamente diferente de las demás. ANOVA es útil en situaciones donde se desea evaluar el efecto de una o más variables independientes categóricas sobre una variable dependiente continua.

1. Hipótesis Nula (H0): Todas las medias de los grupos son iguales.
2. Hipótesis Alternativa (H1): Al menos una de las medias de los grupos es diferente.
3. Varianza Entre Grupos: Variabilidad debida a las diferencias entre los grupos.
4. Varianza Dentro de los Grupos: Variabilidad debida a las diferencias dentro de cada grupo.
5. F-Estadístico: Cociente de la varianza entre grupos y la varianza dentro de los grupos.

1. ANOVA de un Factor: Compara las medias de tres o más grupos basados en una sola variable independiente.
2. ANOVA de Dos Factores: Compara las medias de grupos basados en dos variables independientes.
3. ANOVA de Medidas Repetidas: Compara las medias de grupos donde las mismas unidades experimentales son medidas en diferentes condiciones.

1. Formular las Hipótesis:

   • H0: μ1 = μ2 = μ3 = ... = μk
   • H1: Al menos una media es diferente.

2. Calcular las Sumas de Cuadrados:

   • Suma de Cuadrados Total (SST): Variabilidad total en los datos.
   • Suma de Cuadrados Entre Grupos (SSB): Variabilidad debida a las diferencias entre los grupos.
   • Suma de Cuadrados Dentro de los Grupos (SSW): Variabilidad debida a las diferencias dentro de los grupos.

3. Calcular los Grados de Libertad:

   • Grados de Libertad Total (dfT): n - 1
   • Grados de Libertad Entre Grupos (dfB): k - 1
   • Grados de Libertad Dentro de los Grupos (dfW): n - k

4. Calcular las Varianzas:

   • Varianza Entre Grupos (MSB): SSB / dfB
   • Varianza Dentro de los Grupos (MSW): SSW / dfW

5. Calcular el F-Estadístico:

   • F = MSB / MSW

6. Comparar el F-Estadístico con el Valor Crítico:

   • Si F > F crítico, se rechaza H0.

Supongamos que queremos comparar el rendimiento académico de estudiantes en tres diferentes métodos de enseñanza. Los datos son los siguientes:

• H0: μA = μB = μC
• H1: Al menos una media es diferente.

1. Suma de Cuadrados Total (SST): \[ SST = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \] Donde \( \bar{X} \) es la media global.

2. Suma de Cuadrados Entre Grupos (SSB): \[ SSB = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{X}_j - \bar{X})^2 \] Donde \( \bar{X}_j \) es la media del grupo j y \( n_j \) es el tamaño del grupo j.

3. Suma de Cuadrados Dentro de los Grupos (SSW): \[ SSW = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} - \bar{X}_j)^2 \]

• dfT = n - 1 = 9 - 1 = 8
• dfB = k - 1 = 3 - 1 = 2
• dfW = n - k = 9 - 3 = 6

• MSB = SSB / dfB
• MSW = SSW / dfW

• F = MSB / MSW

• Si F > F crítico, se rechaza H0.

Supongamos que tenemos los siguientes datos de tres diferentes dietas y su efecto en la pérdida de peso (en kg) de un grupo de personas:

1. Formule las hipótesis nula y alternativa.
2. Calcule las sumas de cuadrados (SST, SSB, SSW).
3. Calcule los grados de libertad.
4. Calcule las varianzas (MSB, MSW).
5. Calcule el F-Estadístico.
6. Compare el F-Estadístico con el valor crítico (use una tabla F con α = 0.05).

1. Hipótesis:

   • H0: μA = μB = μC
   • H1: Al menos una media es diferente.

2. Sumas de Cuadrados:

   • Calcule la media global \( \bar{X} \).
   • Calcule SSB y SSW usando las fórmulas proporcionadas.

3. Grados de Libertad:

   • dfT = 9 - 1 = 8
   • dfB = 3 - 1 = 2
   • dfW = 9 - 3 = 6

4. Varianzas:

   • MSB = SSB / dfB
   • MSW = SSW / dfW

5. F-Estadístico:

   • F = MSB / MSW

6. Comparación:

   • Compare F con el valor crítico de la tabla F para α = 0.05.

El ANOVA es una herramienta poderosa para comparar múltiples grupos y determinar si existen diferencias significativas entre ellos. Al seguir los pasos detallados y practicar con ejemplos, los estudiantes pueden dominar esta técnica y aplicarla en diversas situaciones de análisis de datos.