Al final del módulo anterior quedó una pregunta en el aire: el 8,1 de satisfacción media viene de 640 respuestas de los ≈380.000 socios del Club Nova… ¿cuánto podemos fiarnos de esa cifra? Para responderla necesitamos un lenguaje que permita hablar con rigor de lo incierto, y ese lenguaje es la probabilidad. En esta lección construimos sus cimientos: qué es un experimento aleatorio, cómo se describen sus resultados posibles (espacio muestral y sucesos), qué operaciones podemos hacer con esos sucesos, y las tres maneras clásicas de asignar un número a la frase «es probable que». Todo con los datos de NovaMarket que ya conoces: tickets, pagos con tarjeta, categorías de producto y la encuesta de satisfacción.

1. Experimento aleatorio y espacio muestral
2. Sucesos: elemental, compuesto, seguro e imposible
3. Operaciones con sucesos: unión, intersección, complementario e incompatibilidad
4. Los tres enfoques de la probabilidad: clásico, frecuentista y subjetivo
5. Los axiomas de Kolmogórov (versión ligera)
6. Probabilidades a partir de frecuencias relativas en NovaMarket

Un experimento aleatorio es cualquier proceso cuyo resultado no podemos predecir con certeza antes de realizarlo, aunque sí conocemos el conjunto de resultados posibles. Lo contrario es un experimento determinista: si Marta multiplica el ticket medio por el número de tickets de ayer, el resultado es siempre el mismo; no hay azar.

En NovaMarket hay experimentos aleatorios por todas partes:

• Elegir un ticket al azar del día y observar cómo se pagó (tarjeta, efectivo, otro).
• Elegir un socio del Club Nova al azar y observar si respondió a la encuesta de satisfacción.
• Observar cuántas horas tarda en entregarse el próximo pedido online.
• Preguntar a un cliente de Madrid-Centro si recomendaría la tienda.

El espacio muestral, que se denota \( \Omega \) (omega), es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Cada resultado individual se llama suceso elemental.

Fíjate en que definir bien \( \Omega \) es el primer paso de cualquier análisis probabilístico: si Marta pregunta «¿qué probabilidad hay de que un ticket se pague con tarjeta?», primero hay que acordar que los resultados posibles son {tarjeta, efectivo, otro} y no, por ejemplo, {tarjeta, no tarjeta} — ambas opciones son válidas, pero cambian los cálculos y hay que ser coherente.

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral: una afirmación sobre el resultado que puede ocurrir o no ocurrir. Se suele denotar con letras mayúsculas: \( A \), \( B \), \( C \)…

Con el experimento «nota de satisfacción de una respuesta elegida al azar» (\( \Omega = {0,1,\dots,10} \)):

• Suceso elemental: consta de un único resultado. \( A = {10} \): «la nota es exactamente 10».
• Suceso compuesto: consta de varios resultados. \( B = {8, 9, 10} \): «la nota es alta (≥ 8)». \( C = {0,1,2,3,4,5} \): «la nota es baja (≤ 5)», el grupo de detractores que ya identificamos en el Módulo 2.
• Suceso seguro: es el propio \( \Omega \). «La nota está entre 0 y 10» ocurre siempre.
• Suceso imposible: es el conjunto vacío, \( \varnothing \). «La nota es 12» no puede ocurrir nunca.

Decimos que un suceso ocurre cuando el resultado del experimento pertenece a él. Si la respuesta elegida tiene un 9, han ocurrido a la vez \( B \) (porque \( 9 \in B \)) y el suceso seguro, pero no \( A \) ni \( C \).

Los sucesos son conjuntos, así que se combinan con las operaciones de conjuntos. Es el vocabulario que usaremos constantemente en la siguiente lección.

Y una relación importante entre dos sucesos:

• \( A \) y \( B \) son incompatibles (o mutuamente excluyentes, o disjuntos) cuando no pueden ocurrir a la vez: \( A \cap B = \varnothing \).

Elegimos al azar una de las 640 respuestas de la encuesta. Definimos:

• \( T \) = «la respuesta llegó por el canal tienda»
• \( O \) = «la respuesta llegó por el canal online»
• \( S \) = «la nota es ≥ 8» (satisfecho)

Entonces:

• \( T \cup O \): la respuesta llegó por tienda o por online (es decir, por cualquier canal que no sea la app).
• \( T \cap S \): la respuesta llegó por tienda y además la nota es ≥ 8. Es un suceso perfectamente posible: canal y nota son características distintas del mismo resultado.
• \( S^{c} \): la nota es ≤ 7.
• \( T \) y \( O \) son incompatibles: una misma respuesta no puede haber llegado por dos canales a la vez. En cambio, \( T \) y \( S \) no son incompatibles.

Visualmente, un diagrama ayuda a fijar la diferencia entre sucesos incompatibles (círculos separados) y compatibles (círculos que se solapan):

Dos identidades útiles que conviene memorizar (son las leyes de De Morgan, aunque el nombre importa menos que la idea):

\[ (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad\qquad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} \]

En palabras: «no (A o B)» significa «ni A ni B»; y «no (A y B)» significa «falla al menos uno de los dos».

La probabilidad de un suceso \( A \), escrita \( P(A) \), es un número entre 0 y 1 que mide cuán verosímil es que ocurra: 0 = imposible, 1 = seguro, 0,5 = tan probable como improbable. La pregunta es de dónde sale ese número. Hay tres respuestas clásicas, y las tres se usan en la empresa.

Cuando todos los sucesos elementales son igual de probables (por simetría: dados, monedas, sorteos):

\[ P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}} \]

Ejemplo NovaMarket. Para el sorteo mensual del Club Nova se elige un ganador completamente al azar entre los 380.000 socios. La probabilidad de que gane un socio concreto es \( 1/380.000 \approx 0{,}0000026 \). Y si, por ejemplo, 9.500 socios están dados de alta en la tienda de Cuenca, la probabilidad de que el ganador sea de Cuenca es \( 9.500/380.000 = 0{,}025 \), un 2,5 %: casos favorables (socios de Cuenca) entre casos posibles (todos los socios), porque el sorteo garantiza que todos son equiprobables.

La limitación es evidente: casi nada en el negocio es «equiprobable por simetría». La probabilidad de que un ticket se pague con tarjeta no es 1/3 por haber tres métodos de pago; los tres resultados no pesan lo mismo. Ahí entra el segundo enfoque.

La probabilidad de \( A \) es el valor al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchas veces:

\[ P(A) \approx \frac{\text{número de veces que ocurre } A}{\text{número de repeticiones}} \quad \text{(con muchas repeticiones)} \]

Esta es la conexión directa con el Módulo 2: las frecuencias relativas de las tablas de frecuencias son, con muchos datos, estimaciones de probabilidades. Que el 61 % de los tickets de NovaMarket se paguen con tarjeta —calculado sobre millones de tickets— nos autoriza a decir: «la probabilidad de que el próximo ticket se pague con tarjeta es aproximadamente 0,61».

La garantía teórica de que esto funciona se llama ley de los grandes números: al aumentar el número de repeticiones, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de la probabilidad verdadera. Con 10 tickets podemos observar un 40 % de tarjeta por puro azar; con 100.000 tickets, la proporción observada estará casi con seguridad pegada al 61 %.

A veces el experimento no es repetible y aun así necesitamos una probabilidad. «¿Qué probabilidad hay de que la apertura de la tienda 43 en Valencia sea rentable el primer año?» no admite frecuencias: solo abriremos esa tienda una vez. La probabilidad subjetiva es el grado de creencia de un experto, expresado como número entre 0 y 1, basado en su información y experiencia. Marta puede decir «le doy un 0,7» y ese número es útil para decidir, siempre que sea coherente (por ejemplo, que las probabilidades de los escenarios posibles sumen 1).

Sea cual sea el enfoque, para que un conjunto de números merezca llamarse «probabilidad» debe cumplir tres reglas mínimas, formuladas por Andréi Kolmogórov en 1933. No hace falta memorizar la formalización completa; sí las tres ideas:

1. No negatividad: \( P(A) \geq 0 \) para todo suceso \( A \). No existen probabilidades negativas.
2. Normalización: \( P(\Omega) = 1 \). El suceso seguro tiene probabilidad 1.
3. Aditividad: si \( A \) y \( B \) son incompatibles, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Las probabilidades de sucesos que no pueden coincidir se suman.

De estos tres axiomas se deducen consecuencias que usamos constantemente:

• \( P(\varnothing) = 0 \): el suceso imposible tiene probabilidad 0.
• \( P(A^{c}) = 1 - P(A) \): la regla del complementario, la más rentable de todas en la práctica.
• \( 0 \leq P(A) \leq 1 \): ninguna probabilidad supera 1.

Comprobación con NovaMarket. La cuota de venta por categoría (fresca 38 %, despensa 27 %, bebidas 14 %, droguería 12 %, otros 9 %) funciona como asignación de probabilidades para el experimento «categoría de un euro de venta elegido al azar»: todas son ≥ 0 y suman \( 0{,}38+0{,}27+0{,}14+0{,}12+0{,}09 = 1{,}00 \). ✔ Y como «fresca» y «bebidas» son incompatibles (cada euro se clasifica en una sola categoría), \( P(\text{fresca} \cup \text{bebidas}) = 0{,}38 + 0{,}14 = 0{,}52 \).

Cerremos la lección aplicando el enfoque frecuentista a cifras que ya conocemos del Módulo 2. Elegimos al azar una de las 640 respuestas de la encuesta de satisfacción:

• \( P(\text{nota} \geq 8) = 0{,}712 \) (el 71,2 % de las respuestas).
• \( P(\text{nota} \leq 5) = 0{,}075 \) (los detractores).
• Por el complementario: \( P(\text{nota} \geq 6) = 1 - 0{,}075 = 0{,}925 \).
• \( P(\text{canal} = \text{tienda}) = 448/640 = 0{,}70 \); \( P(\text{online}) = 128/640 = 0{,}20 \); \( P(\text{app}) = 64/640 = 0{,}10 \). Comprobación axiomática: \( 0{,}70+0{,}20+0{,}10 = 1 \). ✔

Y con los tickets: si elegimos un ticket al azar, \( P(\text{tarjeta}) = 0{,}61 \), luego \( P(\text{no tarjeta}) = 1 - 0{,}61 = 0{,}39 \).

Un matiz importante que retomaremos en el Módulo 5: cuando la frecuencia viene de una muestra (640 respuestas) y no de toda la población (380.000 socios), el 0,712 es una estimación \( \hat{p} \) de la probabilidad verdadera \( \pi \), no la probabilidad exacta. La distinción parámetro/estadístico del Módulo 1 reaparece aquí con otro disfraz.

• Confundir «resultados posibles» con «resultados equiprobables». Que haya tres métodos de pago no hace que cada uno tenga probabilidad 1/3. La regla de Laplace solo vale cuando la equiprobabilidad está garantizada (sorteos, azar físico simétrico).
• Probabilidades que no suman 1. Si asignas probabilidades a un reparto exhaustivo e incompatible (canales, categorías, métodos de pago) y no suman 1, hay un error seguro en alguna parte. Úsalo como comprobación rutinaria.
• Olvidar el complementario. Calcular \( P(\text{nota} \geq 6) \) sumando siete probabilidades es trabajoso y propenso a errores; \( 1 - P(\text{nota} \leq 5) \) da lo mismo en un paso.
• Interpretar la probabilidad como certeza a corto plazo. \( P(\text{tarjeta}) = 0{,}61 \) no significa que de los próximos 100 tickets exactamente 61 se pagarán con tarjeta; significa que a la larga la proporción rondará el 61 %. En rachas cortas la variabilidad manda (lo cuantificaremos en el Módulo 4).
• Frecuencia relativa de muestra pequeña tomada como probabilidad exacta. Los 64 socios del canal app son pocos: su 7,9 de media (y cualquier proporción calculada sobre ellos) lleva mucha más incertidumbre que las cifras del canal tienda. Anota la n siempre junto a la probabilidad estimada.

Ejercicio 1. Se elige al azar un ticket de NovaMarket y se observa su método de pago, con \( \Omega = {\text{tarjeta}, \text{efectivo}, \text{otro}} \), \( P(\text{tarjeta}) = 0{,}61 \) y \( P(\text{efectivo}) = 0{,}33 \). (a) Calcula \( P(\text{otro}) \). (b) ¿Son incompatibles «tarjeta» y «efectivo»? (c) Calcula \( P(\text{tarjeta} \cup \text{efectivo}) \) y \( P(\text{no tarjeta}) \).

Ejercicio 2. Elegimos al azar una respuesta de la encuesta (640 en total). Clasifica cada suceso como elemental, compuesto, seguro o imposible, y da su probabilidad cuando puedas con los datos de la lección: (a) «la nota está entre 0 y 10»; (b) «la nota es ≥ 8»; (c) «la respuesta llegó por la app»; (d) «la nota es −2».

Ejercicio 3. Marta afirma: «La probabilidad de que la campaña de otoño supere su objetivo es 0,6; la de que se quede en el objetivo, 0,3; y la de que quede por debajo, 0,2». (a) ¿Qué enfoque de probabilidad está usando? (b) ¿Hay algún problema con su asignación? Justifícalo con los axiomas.

Solución 1. (a) Los tres métodos forman un reparto exhaustivo e incompatible, así que sus probabilidades suman 1: \( P(\text{otro}) = 1 - 0{,}61 - 0{,}33 = 0{,}06 \). (b) Sí: un ticket se registra con un único método de pago, luego \( \text{tarjeta} \cap \text{efectivo} = \varnothing \). (c) Por aditividad de incompatibles, \( P(\text{tarjeta} \cup \text{efectivo}) = 0{,}61 + 0{,}33 = 0{,}94 \); y \( P(\text{no tarjeta}) = 1 - 0{,}61 = 0{,}39 \). Error frecuente: responder \( P(\text{otro}) = 0 \) «porque no lo dan» — si el dato no aparece, se deduce, no se ignora.

Solución 2. (a) Suceso seguro: \( P = 1 \). (b) Compuesto (agrupa las notas 8, 9 y 10): \( P = 0{,}712 \). (c) Compuesto respecto del experimento completo (hay muchas respuestas de app), con \( P = 64/640 = 0{,}10 \); sería elemental solo si el experimento observara únicamente el canal con \( \Omega = {\text{tienda}, \text{online}, \text{app}} \) — la clasificación depende de cómo se defina el espacio muestral, y ambas respuestas bien razonadas son válidas. (d) Imposible: \( P = 0 \). Error frecuente: llamar «elemental» a cualquier suceso descrito con una sola frase; lo que cuenta es cuántos resultados de \( \Omega \) contiene.

Solución 3. (a) El subjetivo: la campaña de otoño de este año ocurre una sola vez, no hay frecuencias que consultar. (b) Sí hay problema: los tres escenarios son incompatibles y exhaustivos, pero \( 0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}1 > 1 \), lo que viola los axiomas (la probabilidad del suceso seguro sería 1,1). Marta debe revisar sus números — por ejemplo, 0,5/0,3/0,2. Consejo: la probabilidad subjetiva es legítima, pero está obligada a ser coherente; los axiomas son el control de calidad de cualquier asignación, venga de donde venga.

Ya tenemos el vocabulario básico de la incertidumbre: experimentos aleatorios cuyo conjunto de resultados es el espacio muestral \( \Omega \); sucesos que son subconjuntos de \( \Omega \) y se combinan con unión, intersección y complementario; y tres formas de asignar probabilidades — Laplace cuando hay equiprobabilidad, frecuencias relativas cuando hay datos abundantes (así justificamos el 0,61 de la tarjeta o el 0,712 de satisfechos), y el juicio experto cuando no hay ni lo uno ni lo otro — todas sometidas a los axiomas de Kolmogórov, que garantizan la coherencia.

Pero las preguntas interesantes del negocio casi nunca son sobre un suceso aislado: son sobre combinaciones. ¿Qué probabilidad hay de que una respuesta venga de la app y sea de un cliente insatisfecho? Si sabemos que un pedido llegó tarde, ¿cambia la probabilidad de que fuera de un transportista concreto? Para responderlas necesitamos las Reglas de Probabilidad: la regla de la suma, la probabilidad condicionada, la regla del producto y el teorema de Bayes.