Las pruebas de hipótesis son una herramienta fundamental en la inferencia estadística que nos permite tomar decisiones sobre una población basándonos en una muestra de datos. Este proceso implica formular una hipótesis nula y una hipótesis alternativa, y luego utilizar datos muestrales para determinar cuál de las dos hipótesis es más probable.

1. Hipótesis Nula (H₀): Es una afirmación que se presume verdadera hasta que se demuestre lo contrario. Generalmente, representa una situación de "no efecto" o "no diferencia".
2. Hipótesis Alternativa (H₁ o Ha): Es una afirmación que se acepta si la evidencia muestral sugiere que la hipótesis nula es falsa. Representa una situación de "efecto" o "diferencia".
3. Nivel de Significancia (α): Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Comúnmente se utiliza un α de 0.05.
4. Valor P: Es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como, o más extremo que, el observado, bajo la suposición de que la hipótesis nula es verdadera.
5. Estadístico de Prueba: Es una función de los datos muestrales que se utiliza para decidir si se rechaza la hipótesis nula.

1. Formular las Hipótesis:

   • H₀: La media de la población es igual a un valor específico (μ₀).
   • H₁: La media de la población no es igual a ese valor (μ ≠ μ₀).

2. Seleccionar el Nivel de Significancia (α):

   • Comúnmente se elige α = 0.05.

3. Elegir el Estadístico de Prueba:

   • Para una prueba de hipótesis sobre la media, se puede utilizar el estadístico t si la desviación estándar de la población es desconocida y la muestra es pequeña, o el estadístico z si la desviación estándar de la población es conocida o la muestra es grande.

4. Calcular el Estadístico de Prueba:

   • Para una prueba t: \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] Donde:
     • \(\bar{x}\) es la media muestral.
     • \(\mu_0\) es la media poblacional bajo H₀.
     • \(s\) es la desviación estándar muestral.
     • \(n\) es el tamaño de la muestra.

5. Determinar el Valor P:

   • Comparar el valor del estadístico de prueba con una distribución t o z para obtener el valor P.

6. Tomar una Decisión:

   • Si el valor P ≤ α, se rechaza H₀.
   • Si el valor P > α, no se rechaza H₀.

Supongamos que un fabricante afirma que la vida útil promedio de sus baterías es de 500 horas. Un grupo de consumidores sospecha que la vida útil real es menor. Para probar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 30 baterías y se encuentra que la vida útil promedio es de 490 horas con una desviación estándar de 20 horas. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05.

1. Formular las Hipótesis:

   • H₀: μ = 500 horas
   • H₁: μ < 500 horas

2. Seleccionar el Nivel de Significancia (α):

   • α = 0.05

3. Elegir el Estadístico de Prueba:

   • Utilizaremos el estadístico t porque la desviación estándar de la población es desconocida y el tamaño de la muestra es pequeño (n < 30).

4. Calcular el Estadístico de Prueba: \[ t = \frac{490 - 500}{20 / \sqrt{30}} = \frac{-10}{3.65} = -2.74 \]

5. Determinar el Valor P:

   • Consultando una tabla t para 29 grados de libertad (n-1), encontramos que el valor P correspondiente a t = -2.74 es aproximadamente 0.005.

6. Tomar una Decisión:

   • Dado que el valor P (0.005) es menor que α (0.05), rechazamos la hipótesis nula H₀.

Hay suficiente evidencia para concluir que la vida útil promedio de las baterías es menor que 500 horas.

Un investigador afirma que el peso promedio de una especie de pez en un lago es de 3 kg. Una muestra aleatoria de 50 peces tiene un peso promedio de 2.8 kg con una desviación estándar de 0.5 kg. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.01.

1. Formular las Hipótesis:

   • H₀: μ = 3 kg
   • H₁: μ ≠ 3 kg

2. Seleccionar el Nivel de Significancia (α):

   • α = 0.01

3. Elegir el Estadístico de Prueba:

   • Utilizaremos el estadístico t porque la desviación estándar de la población es desconocida.

4. Calcular el Estadístico de Prueba: \[ t = \frac{2.8 - 3}{0.5 / \sqrt{50}} = \frac{-0.2}{0.0707} = -2.83 \]

5. Determinar el Valor P:

   • Consultando una tabla t para 49 grados de libertad (n-1), encontramos que el valor P correspondiente a t = -2.83 es aproximadamente 0.006.

6. Tomar una Decisión:

   • Dado que el valor P (0.006) es menor que α (0.01), rechazamos la hipótesis nula H₀.

Hay suficiente evidencia para concluir que el peso promedio de los peces no es 3 kg.

En esta sección, hemos aprendido sobre las pruebas de hipótesis, incluyendo los conceptos clave, los pasos para realizar una prueba de hipótesis y cómo interpretar los resultados. También hemos trabajado con ejemplos prácticos para reforzar estos conceptos. En la siguiente sección, exploraremos los intervalos de confianza, que son otra herramienta importante en la inferencia estadística.