Los intervalos de confianza son una herramienta fundamental en la inferencia estadística. Nos permiten estimar un parámetro poblacional (como la media o la proporción) con un rango de valores que, con un cierto nivel de confianza, contiene el verdadero valor del parámetro.

1. Estimación Puntual: Es un solo valor calculado a partir de los datos de la muestra que se utiliza como estimación del parámetro poblacional.
2. Estimación por Intervalo: Es un rango de valores, derivado de los datos de la muestra, que se utiliza para estimar el parámetro poblacional.
3. Nivel de Confianza: Es la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional. Comúnmente se usan niveles de confianza del 90%, 95% y 99%.
4. Error Estándar: Es una medida de la variabilidad de una estimación puntual. Depende del tamaño de la muestra y de la desviación estándar de la población.

Para una media poblacional (\(\mu\)), el intervalo de confianza se calcula como:

\[ \bar{x} \pm Z \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

Donde:

• \(\bar{x}\) es la media muestral.
• \(Z\) es el valor crítico de la distribución normal estándar correspondiente al nivel de confianza deseado.
• \(\sigma\) es la desviación estándar de la población.
• \(n\) es el tamaño de la muestra.

Supongamos que tenemos una muestra de 100 estudiantes y queremos estimar la media de sus calificaciones. La media muestral (\(\bar{x}\)) es 75 y la desviación estándar poblacional (\(\sigma\)) es 10. Queremos calcular un intervalo de confianza del 95%.

1. Determinar el valor crítico \(Z\):

   • Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico \(Z\) es aproximadamente 1.96.

2. Calcular el error estándar: \[ \text{Error Estándar} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{100}} = 1 \]

3. Calcular el intervalo de confianza: \[ \bar{x} \pm Z \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 75 \pm 1.96 \times 1 \] \[ 75 \pm 1.96 = [73.04, 76.96] \]

Por lo tanto, con un 95% de confianza, podemos decir que la media poblacional de las calificaciones está entre 73.04 y 76.96.

Una empresa quiere estimar el salario promedio de sus empleados. Se toma una muestra de 50 empleados y se encuentra que la media muestral es de $60,000 con una desviación estándar poblacional de $5,000. Calcula un intervalo de confianza del 90%.

1. Determinar el valor crítico \(Z\):

   • Para un nivel de confianza del 90%, el valor crítico \(Z\) es aproximadamente 1.645.

2. Calcular el error estándar: \[ \text{Error Estándar} = \frac{5000}{\sqrt{50}} = 707.11 \]

3. Calcular el intervalo de confianza: \[ 60000 \pm 1.645 \times 707.11 = 60000 \pm 1163.19 \] \[ [58836.81, 61163.19] \]

Por lo tanto, con un 90% de confianza, podemos decir que el salario promedio de los empleados está entre $58,836.81 y $61,163.19.

Un investigador desea estimar la proporción de personas que prefieren un nuevo producto. En una muestra de 200 personas, 120 prefieren el nuevo producto. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional.

1. Calcular la proporción muestral (\(\hat{p}\)): \[ \hat{p} = \frac{120}{200} = 0.60 \]

2. Determinar el valor crítico \(Z\):

   • Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico \(Z\) es aproximadamente 1.96.

3. Calcular el error estándar: \[ \text{Error Estándar} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.60 \times 0.40}{200}} = 0.0346 \]

4. Calcular el intervalo de confianza: \[ \hat{p} \pm Z \times \text{Error Estándar} = 0.60 \pm 1.96 \times 0.0346 \] \[ 0.60 \pm 0.0678 = [0.5322, 0.6678] \]

Por lo tanto, con un 95% de confianza, podemos decir que la proporción de personas que prefieren el nuevo producto está entre 53.22% y 66.78%.

En esta sección, hemos aprendido sobre los intervalos de confianza, una herramienta crucial para la inferencia estadística. Hemos cubierto los conceptos básicos, la fórmula general para calcular intervalos de confianza, y hemos trabajado con ejemplos prácticos y ejercicios para reforzar el aprendizaje. Ahora estamos preparados para avanzar a la siguiente sección sobre Análisis de Correlación.