En esta sección, exploraremos cómo se aplican las matemáticas 3D en la creación de gráficos por computadora. Este tema es fundamental para entender cómo se generan y manipulan imágenes en tres dimensiones en diversas aplicaciones, desde videojuegos hasta simulaciones científicas.

Los gráficos por computadora son imágenes generadas mediante el uso de algoritmos y matemáticas. En el contexto de gráficos 3D, se utilizan conceptos de álgebra lineal y geometría para representar y manipular objetos en un espacio tridimensional.

1. Modelado 3D: Proceso de crear una representación matemática de cualquier superficie de un objeto en tres dimensiones.
2. Renderizado: Proceso de generar una imagen a partir de un modelo 3D mediante cálculos de iluminación, texturas y sombras.
3. Transformaciones: Operaciones matemáticas que permiten mover, rotar y escalar objetos en el espacio 3D.
4. Proyecciones: Métodos para convertir coordenadas 3D en coordenadas 2D para su visualización en una pantalla.

El modelado 3D es el primer paso en la creación de gráficos por computadora. Consiste en definir la forma y estructura de los objetos que se quieren representar.

Consideremos un cubo. Un cubo puede ser definido por sus vértices en un espacio tridimensional. Los vértices de un cubo de lado 1 centrado en el origen son:

Las transformaciones son operaciones que permiten modificar la posición, orientación y tamaño de los objetos en el espacio 3D.

1. Traslación: Mover un objeto de un lugar a otro.
2. Rotación: Girar un objeto alrededor de un eje.
3. Escalado: Cambiar el tamaño de un objeto.

Supongamos que queremos trasladar el cubo definido anteriormente en la dirección del vector (1, 2, 3). La matriz de traslación es:

\[ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & 2
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Aplicando esta matriz a un vértice \( V1 = (-0.5, -0.5, -0.5, 1) \):

\[ V1' = T \cdot V1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & 2
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -0.5
-0.5
-0.5
1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5
1.5
2.5
1 \end{bmatrix} \]

El renderizado es el proceso de convertir un modelo 3D en una imagen 2D. Esto implica cálculos de iluminación, texturas y sombras para crear una representación visual realista.

1. Ray Tracing: Simula el comportamiento de la luz para crear imágenes altamente realistas.
2. Rasterización: Convierte los modelos 3D en píxeles en la pantalla, utilizado en tiempo real en videojuegos.

En el caso de un cubo, el renderizado implicaría calcular cómo la luz interactúa con sus superficies y proyectar la imagen resultante en una pantalla 2D.

1. Modelado: Define los vértices de un cubo de lado 2 centrado en el origen.
2. Traslación: Aplica una traslación al cubo en la dirección del vector (2, 3, 4).
3. Rotación: Rota el cubo 45 grados alrededor del eje Z.

Solución

1. Modelado:

   • Vértices del cubo de lado 2 centrado en el origen: \[ \begin{aligned} &V1 = (-1, -1, -1)
     &V2 = (1, -1, -1)
     &V3 = (1, 1, -1)
     &V4 = (-1, 1, -1)
     &V5 = (-1, -1, 1)
     &V6 = (1, -1, 1)
     &V7 = (1, 1, 1)
     &V8 = (-1, 1, 1)
     \end{aligned} \]

2. Traslación:

   • Matriz de traslación: \[ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2
     0 & 1 & 0 & 3
     0 & 0 & 1 & 4
     0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
   • Aplicando la traslación a \( V1 \): \[ V1' = T \cdot V1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2
     0 & 1 & 0 & 3
     0 & 0 & 1 & 4
     0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1
     -1
     -1
     1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1
     2
     3
     1 \end{bmatrix} \]

3. Rotación:

   • Matriz de rotación alrededor del eje Z: \[ R_z = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 & 0
     \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 & 0
     0 & 0 & 1 & 0
     0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
   • Aplicando la rotación a \( V1' \): \[ V1'' = R_z \cdot V1' = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0
     \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0
     0 & 0 & 1 & 0
     0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1
     2
     3
     1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.707
     2.121
     3
     1 \end{bmatrix} \]

En esta sección, hemos explorado los conceptos básicos de los gráficos por computadora, incluyendo el modelado 3D, las transformaciones y el renderizado. Estos fundamentos son cruciales para la creación de imágenes tridimensionales en diversas aplicaciones. En la siguiente sección, profundizaremos en las proyecciones y vistas, que son esenciales para visualizar correctamente los objetos 3D en una pantalla 2D.