En esta sección, exploraremos las matrices y los determinantes, conceptos fundamentales en álgebra lineal que tienen aplicaciones cruciales en la manipulación de gráficos en tres dimensiones. Las matrices son herramientas poderosas para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, mientras que los determinantes proporcionan información sobre las propiedades de estas matrices, como la invertibilidad.

1. Definición: Una matriz es una colección de números dispuestos en un formato rectangular de filas y columnas.
2. Notación: Una matriz \( A \) de tamaño \( m \times n \) (m filas y n columnas) se denota como: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
   a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

1. Suma de Matrices: Dos matrices \( A \) y \( B \) de igual tamaño se suman elemento a elemento. \[ (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} \]
2. Multiplicación por un Escalar: Multiplicar una matriz \( A \) por un escalar \( c \) implica multiplicar cada elemento de \( A \) por \( c \). \[ (cA){ij} = c \cdot a{ij} \]
3. Multiplicación de Matrices: El producto de dos matrices \( A \) (de tamaño \( m \times n \)) y \( B \) (de tamaño \( n \times p \)) es una matriz \( C \) (de tamaño \( m \times p \)). \[ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \]

1. Definición: El determinante es un valor escalar que se asocia a una matriz cuadrada. Se denota como \( \det(A) \) o \( |A| \).
2. Propiedades del Determinante:
   • \( \det(A) \neq 0 \) implica que la matriz \( A \) es invertible.
   • \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \).
   • \( \det(A^T) = \det(A) \) (donde \( A^T \) es la transpuesta de \( A \)).

Para una matriz \( 2 \times 2 \): \[ A = \begin{pmatrix} a & b
c & d \end{pmatrix} \] El determinante es: \[ \det(A) = ad - bc \]

Para una matriz \( 3 \times 3 \): \[ A = \begin{pmatrix} a & b & c
d & e & f
g & h & i \end{pmatrix} \] El determinante es: \[ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

Dadas las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2
3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6
7 & 8 \end{pmatrix} \]

La suma \( A + B \) es: \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6
3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8
10 & 12 \end{pmatrix} \]

Dadas las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2
3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0
1 & 2 \end{pmatrix} \]

El producto \( AB \) es: \[ AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2
3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4
10 & 8 \end{pmatrix} \]

Para la matriz \( 2 \times 2 \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 8
4 & 6 \end{pmatrix} \]

El determinante es: \[ \det(A) = 3 \cdot 6 - 8 \cdot 4 = 18 - 32 = -14 \]

Dadas las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3
4 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0
7 & 8 \end{pmatrix} \]

Calcula \( A + B \).

Solución: \[ A + B = \begin{pmatrix} 2+1 & 3+0
4+7 & 5+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3
11 & 13 \end{pmatrix} \]

Dadas las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4
2 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8
9 & 10 \end{pmatrix} \]

Calcula \( AB \).

Solución: \[ AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 7 + 4 \cdot 9 & 1 \cdot 8 + 4 \cdot 10
2 \cdot 7 + 5 \cdot 9 & 2 \cdot 8 + 5 \cdot 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43 & 48
59 & 66 \end{pmatrix} \]

Para la matriz \( 3 \times 3 \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
4 & 5 & 6
7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

Calcula \( \det(A) \).

Solución: \[ \det(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \]

En esta sección, hemos cubierto los conceptos básicos de matrices y determinantes, incluyendo sus definiciones, propiedades y operaciones fundamentales. Estos conceptos son esenciales para el álgebra lineal y tienen aplicaciones directas en la manipulación de gráficos en tres dimensiones. Asegúrate de practicar los ejercicios para reforzar tu comprensión y prepararte para los temas más avanzados en los siguientes módulos.