En esta sección, exploraremos dos operaciones fundamentales con vectores en el espacio tridimensional: el producto escalar y el producto vectorial. Estas operaciones son esenciales para diversas aplicaciones en gráficos 3D, física y geometría.

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores es una operación que resulta en un número (escalar). Es útil para determinar el ángulo entre dos vectores y para proyectar un vector sobre otro.

Dados dos vectores \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) y \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), el producto escalar se define como:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

1. Conmutatividad: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \)
2. Distribución: \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \)
3. Asociatividad con un escalar: \( k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k \mathbf{b}) \)

Calculemos el producto escalar de los vectores \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \) y \( \mathbf{b} = (4, -5, 6) \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \]

Calcule el producto escalar de los vectores \( \mathbf{u} = (2, 3, 4) \) y \( \mathbf{v} = (-1, 0, 5) \).

Solución:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = -2 + 0 + 20 = 18 \]

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores es una operación que resulta en un nuevo vector perpendicular a los dos vectores originales. Es útil para encontrar áreas de paralelogramos y para determinar la orientación de un sistema de coordenadas.

Dados dos vectores \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) y \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), el producto vectorial se define como:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1) \]

1. Anticonmutatividad: \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \)
2. Distribución: \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} \)
3. Producto vectorial de un vector consigo mismo: \( \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} \)

Calculemos el producto vectorial de los vectores \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \) y \( \mathbf{b} = (4, -5, 6) \):

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot (-5), 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot (-5) - 2 \cdot 4) \] \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (12 + 15, 12 - 6, -5 - 8) \] \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (27, 6, -13) \]

Calcule el producto vectorial de los vectores \( \mathbf{u} = (2, 3, 4) \) y \( \mathbf{v} = (-1, 0, 5) \).

Solución:

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (3 \cdot 5 - 4 \cdot 0, 4 \cdot (-1) - 2 \cdot 5, 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) \] \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (15 - 0, -4 - 10, 0 + 3) \] \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (15, -14, 3) \]

En esta sección, hemos cubierto dos operaciones fundamentales con vectores en 3D: el producto escalar y el producto vectorial. El producto escalar resulta en un número y es útil para determinar ángulos y proyecciones, mientras que el producto vectorial resulta en un nuevo vector perpendicular a los vectores originales y es útil para determinar áreas y orientaciones. Estas operaciones son esenciales para la manipulación y comprensión de gráficos en tres dimensiones.