En álgebra lineal, los conceptos de autovalores y autovectores son fundamentales para entender cómo las transformaciones lineales afectan a los vectores en un espacio vectorial. Estos conceptos tienen aplicaciones en diversas áreas, incluyendo gráficos en 3D, análisis de sistemas dinámicos, y más.

• Autovector: Un vector \( \mathbf{v} \) no nulo es un autovector de una matriz \( A \) si existe un escalar \( \lambda \) tal que \( A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \).
• Autovalor: El escalar \( \lambda \) es el autovalor correspondiente al autovector \( \mathbf{v} \).

1. Linealidad: Si \( \mathbf{v} \) es un autovector de \( A \) con autovalor \( \lambda \), entonces cualquier múltiplo escalar de \( \mathbf{v} \) también es un autovector de \( A \) con el mismo autovalor \( \lambda \).
2. Determinante: Los autovalores de una matriz \( A \) son las raíces del polinomio característico \( \det(A - \lambda I) = 0 \).
3. Diagonalización: Una matriz \( A \) es diagonalizable si existe una matriz \( P \) y una matriz diagonal \( D \) tal que \( A = PDP^{-1} \), donde las columnas de \( P \) son los autovectores de \( A \) y los elementos de \( D \) son los autovalores de \( A \).

Dada una matriz \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1
2 & 3 \end{pmatrix} \]

El polinomio característico se obtiene de \( \det(A - \lambda I) = 0 \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1
2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \]

\[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) \]

\[ = \lambda^2 - 7\lambda + 10 \]

Resolvemos \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \):

\[ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \]

\[ \lambda = \frac{7 \pm 3}{2} \]

\[ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 \]

Para \( \lambda_1 = 5 \):

\[ (A - 5I)\mathbf{v} = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} -1 & 1
2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1
v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Resolviendo, obtenemos \( v_1 = v_2 \). Un autovector correspondiente es \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \).

Para \( \lambda_2 = 2 \):

\[ (A - 2I)\mathbf{v} = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1
2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1
v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Resolviendo, obtenemos \( v_1 = -v_2 \). Un autovector correspondiente es \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} \).

Dada la matriz \( B \):

\[ B = \begin{pmatrix} 6 & 2
2 & 3 \end{pmatrix} \]

1. Encuentra el polinomio característico de \( B \).
2. Calcula los autovalores de \( B \).
3. Encuentra los autovectores correspondientes a cada autovalor.

1. Polinomio característico:

\[ \det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix} 6 - \lambda & 2
2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \]

\[ = (6 - \lambda)(3 - \lambda) - 4 \]

\[ = \lambda^2 - 9\lambda + 14 \]

2. Autovalores:

\[ \lambda = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} \]

\[ \lambda = \frac{9 \pm 5}{2} \]

\[ \lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 2 \]

3. Autovectores:

Para \( \lambda_1 = 7 \):

\[ (B - 7I)\mathbf{v} = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} -1 & 2
2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1
v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Resolviendo, obtenemos \( v_1 = 2v_2 \). Un autovector correspondiente es \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} \).

Para \( \lambda_2 = 2 \):

\[ (B - 2I)\mathbf{v} = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} 4 & 2
2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1
v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Resolviendo, obtenemos \( v_1 = -0.5v_2 \). Un autovector correspondiente es \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix} \).

En esta sección, hemos aprendido sobre los autovalores y autovectores, cómo encontrarlos y sus propiedades. Estos conceptos son esenciales para comprender cómo las transformaciones lineales afectan a los vectores en un espacio vectorial y tienen aplicaciones prácticas en gráficos 3D y otras áreas. En la próxima sección, exploraremos las transformaciones lineales en mayor detalle.