En este tema, exploraremos las transformaciones lineales, un concepto fundamental en álgebra lineal y esencial para la manipulación de gráficos en tres dimensiones. Las transformaciones lineales son funciones que mapean vectores de un espacio vectorial a otro, preservando las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar.

1. Definición de Transformación Lineal
2. Propiedades de las Transformaciones Lineales
3. Ejemplos de Transformaciones Lineales
4. Ejercicios Prácticos

Una transformación lineal de un espacio vectorial a un espacio vectorial es una función que satisface las siguientes dos propiedades para todos los vectores y cualquier escalar :

1. Aditividad:
2. Homogeneidad:

En notación matemática, si es una transformación lineal, entonces para todos y :

Las transformaciones lineales tienen varias propiedades importantes que se derivan directamente de su definición:

1. Transformación del Vector Cero:
2. Transformación de la Suma de Vectores:
3. Transformación de la Multiplicación Escalar:
4. Composición de Transformaciones Lineales: Si y son transformaciones lineales, entonces la composición también es una transformación lineal.
5. Transformación de la Base: Si es una base de , entonces está completamente determinada por .

Consideremos una rotación en el plano por un ángulo . La transformación lineal correspondiente se define por:

Una transformación de escalado en con factores de escala y se define por:

Una proyección ortogonal sobre el eje en se define por:

Verifica si la siguiente función es una transformación lineal:

Solución:

Para verificar si es una transformación lineal, debemos comprobar las propiedades de aditividad y homogeneidad.

1. Aditividad:

Ambos resultados son iguales, por lo que se cumple la aditividad.

2. Homogeneidad:

Ambos resultados son iguales, por lo que se cumple la homogeneidad.

Por lo tanto, es una transformación lineal.

Encuentra la imagen del vector bajo la transformación de rotación con .

Solución:

La matriz de rotación para es:

Aplicamos esta matriz al vector :

Por lo tanto, la imagen del vector bajo la rotación es .

En esta sección, hemos definido las transformaciones lineales y explorado sus propiedades fundamentales. También hemos visto ejemplos específicos de transformaciones lineales y resuelto ejercicios prácticos para reforzar los conceptos aprendidos. En la siguiente sección, profundizaremos en las matrices de transformación, que son herramientas esenciales para representar y calcular transformaciones lineales en gráficos 3D.