En este tema, exploraremos las transformaciones lineales, un concepto fundamental en álgebra lineal y esencial para la manipulación de gráficos en tres dimensiones. Las transformaciones lineales son funciones que mapean vectores de un espacio vectorial a otro, preservando las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar.

1. Definición de Transformación Lineal
2. Propiedades de las Transformaciones Lineales
3. Ejemplos de Transformaciones Lineales
4. Ejercicios Prácticos

Una transformación lineal \( T \) de un espacio vectorial \( V \) a un espacio vectorial \( W \) es una función que satisface las siguientes dos propiedades para todos los vectores \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) y cualquier escalar \( c \):

1. Aditividad: \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
2. Homogeneidad: \( T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \)

En notación matemática, si \( T: V \rightarrow W \) es una transformación lineal, entonces para todos \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) y \( c \in \mathbb{R} \):

\[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \] \[ T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \]

Las transformaciones lineales tienen varias propiedades importantes que se derivan directamente de su definición:

1. Transformación del Vector Cero: \( T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \)
2. Transformación de la Suma de Vectores: \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
3. Transformación de la Multiplicación Escalar: \( T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \)
4. Composición de Transformaciones Lineales: Si \( T_1 \) y \( T_2 \) son transformaciones lineales, entonces la composición \( T_2 \circ T_1 \) también es una transformación lineal.
5. Transformación de la Base: Si \( { \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n } \) es una base de \( V \), entonces \( T \) está completamente determinada por \( T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2), \ldots, T(\mathbf{e}_n) \).

Consideremos una rotación en el plano \( \mathbb{R}^2 \) por un ángulo \( \theta \). La transformación lineal correspondiente \( R_\theta \) se define por:

\[ R_\theta \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \]

Una transformación de escalado en \( \mathbb{R}^2 \) con factores de escala \( k_x \) y \( k_y \) se define por:

\[ S \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_x & 0 \ 0 & k_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \]

Una proyección ortogonal sobre el eje \( x \) en \( \mathbb{R}^2 \) se define por:

\[ P \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \]

Verifica si la siguiente función es una transformación lineal:

\[ T \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \ x - y \end{pmatrix} \]

Solución:

Para verificar si \( T \) es una transformación lineal, debemos comprobar las propiedades de aditividad y homogeneidad.

1. Aditividad:

\[ T \left( \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix} \right) = T \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) \ (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{pmatrix} \]

\[ T \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} + T \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + y_1 \ x_1 - y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_2 + y_2 \ x_2 - y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2 \ x_1 + x_2 - y_1 - y_2 \end{pmatrix} \]

Ambos resultados son iguales, por lo que se cumple la aditividad.

2. Homogeneidad:

\[ T(c \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}) = T \begin{pmatrix} cx \ cy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(cx) + (cy) \ (cx) - (cy) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c(2x + y) \ c(x - y) \end{pmatrix} \]

\[ cT \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 2x + y \ x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c(2x + y) \ c(x - y) \end{pmatrix} \]

Ambos resultados son iguales, por lo que se cumple la homogeneidad.

Por lo tanto, \( T \) es una transformación lineal.

Encuentra la imagen del vector \( \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} \) bajo la transformación de rotación \( R_\theta \) con \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Solución:

La matriz de rotación para \( \theta = \frac{\pi}{4} \) es:

\[ R_{\frac{\pi}{4}} = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]

Aplicamos esta matriz al vector \( \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} \):

\[ R_{\frac{\pi}{4}} \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(3) + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(4) \ \frac{\sqrt{2}}{2}(3) + \frac{\sqrt{2}}{2}(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{7\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]

Por lo tanto, la imagen del vector \( \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} \) bajo la rotación \( R_{\frac{\pi}{4}} \) es \( \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \frac{7\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \).

En esta sección, hemos definido las transformaciones lineales y explorado sus propiedades fundamentales. También hemos visto ejemplos específicos de transformaciones lineales y resuelto ejercicios prácticos para reforzar los conceptos aprendidos. En la siguiente sección, profundizaremos en las matrices de transformación, que son herramientas esenciales para representar y calcular transformaciones lineales en gráficos 3D.