La composición de transformaciones es una herramienta fundamental en el álgebra lineal y la geometría, especialmente en el contexto de gráficos en 3D. Este tema se centra en cómo combinar múltiples transformaciones lineales para obtener una transformación resultante. A lo largo de esta sección, aprenderás a:

1. Comprender la teoría detrás de la composición de transformaciones.
2. Aplicar la composición de transformaciones utilizando matrices.
3. Resolver ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.

La composición de transformaciones se refiere a la aplicación secuencial de dos o más transformaciones a un vector o conjunto de vectores. Matemáticamente, si tenemos dos transformaciones lineales \( T_1 \) y \( T_2 \), la composición de estas transformaciones se denota como \( T = T_2 \circ T_1 \), lo que significa que \( T \) es la transformación que resulta de aplicar primero \( T_1 \) y luego \( T_2 \).

• Asociatividad: La composición de transformaciones es asociativa, es decir, \( (T_3 \circ T_2) \circ T_1 = T_3 \circ (T_2 \circ T_1) \).
• No Conmutatividad: En general, la composición de transformaciones no es conmutativa, es decir, \( T_2 \circ T_1 \neq T_1 \circ T_2 \).

Cada transformación lineal puede representarse mediante una matriz. La composición de dos transformaciones lineales \( T_1 \) y \( T_2 \) se puede representar como el producto de sus matrices correspondientes. Si \( A \) y \( B \) son las matrices de \( T_1 \) y \( T_2 \) respectivamente, entonces la matriz de la transformación compuesta \( T = T_2 \circ T_1 \) es \( C = B \cdot A \).

Supongamos que tenemos dos transformaciones en el espacio 2D:

1. Una rotación \( R \) de \( 45^\circ \).
2. Un escalado \( S \) que duplica el tamaño de los vectores.

Las matrices correspondientes son: \[ R = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ
\sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]

\[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0
0 & 2 \end{pmatrix} \]

La composición de estas transformaciones \( T = S \circ R \) se obtiene multiplicando las matrices: \[ T = S \cdot R = \begin{pmatrix} 2 & 0
0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2}
\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix} \]

En el espacio 3D, consideremos:

1. Una traslación \( T \) por el vector \( \mathbf{d} = (1, 2, 3) \).
2. Una rotación \( R \) alrededor del eje \( z \) por \( 90^\circ \).

La matriz de traslación en coordenadas homogéneas es: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & 2
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La matriz de rotación alrededor del eje \( z \) es: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0
1 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La composición \( C = R \cdot T \) es: \[ C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0
1 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & 2
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -2
1 & 0 & 0 & 1
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Dadas las siguientes matrices de transformación en 2D: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2
0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1
1 & 0 \end{pmatrix} \]

1. Encuentra la matriz de la transformación compuesta \( C = B \cdot A \).
2. Aplica la transformación compuesta al vector \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \).

1. Multiplicamos las matrices: \[ C = B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1
   1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2
   0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1
   1 & 2 \end{pmatrix} \]

2. Aplicamos \( C \) al vector \( \mathbf{v} \): \[ \mathbf{v}' = C \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & -1
   1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1
   1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1
   3 \end{pmatrix} \]

Dadas las siguientes matrices de transformación en 3D: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & 2
0 & 0 & 1 & 3
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0
1 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

1. Encuentra la matriz de la transformación compuesta \( C = B \cdot A \).
2. Aplica la transformación compuesta al vector \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \).

1. Multiplicamos las matrices: \[ C = B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0
   1 & 0 & 0 & 0
   0 & 0 & 1 & 0
   0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1
   0 & 1 & 0 & 2
   0 & 0 & 1 & 3
   0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -2
   1 & 0 & 0 & 1
   0 & 0 & 1 & 3
   0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

2. Aplicamos \( C \) al vector \( \mathbf{v} \): \[ \mathbf{v}' = C \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -2
   1 & 0 & 0 & 1
   0 & 0 & 1 & 3
   0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1
   1
   1
   1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3
   2
   4
   1 \end{pmatrix} \]

En esta sección, hemos explorado la composición de transformaciones, una herramienta esencial para manipular gráficos en 3D. Aprendimos a combinar transformaciones utilizando matrices y aplicamos estos conceptos a ejemplos prácticos. La comprensión de cómo componer transformaciones es crucial para tareas avanzadas en gráficos por computadora, simulaciones y modelado 3D. En la próxima sección, profundizaremos en la geometría en el espacio 3D, donde aplicaremos estos conceptos para trabajar con coordenadas y planos.