En esta sección, exploraremos los vectores en el espacio tridimensional (3D). Los vectores son fundamentales en la representación y manipulación de gráficos en 3D, ya que permiten describir posiciones, direcciones y magnitudes en el espacio. Aprenderemos sobre la notación, operaciones básicas y aplicaciones de los vectores en 3D.

Un vector en el espacio 3D se representa como un conjunto ordenado de tres componentes, generalmente denotadas como \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \), donde:

• \( v_x \) es la componente en el eje \( x \).
• \( v_y \) es la componente en el eje \( y \).
• \( v_z \) es la componente en el eje \( z \).

Los vectores pueden representarse de varias formas:

• Notación de coordenadas: \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \)
• Notación de columna: \[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x
  v_y
  v_z \end{pmatrix} \]

a. Suma de Vectores

La suma de dos vectores \( \mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) \) y \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \) se define como: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) \]

b. Resta de Vectores

La resta de dos vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) se define como: \[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z) \]

c. Producto por un Escalar

El producto de un vector \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \) por un escalar \( k \) se define como: \[ k \mathbf{v} = (k v_x, k v_y, k v_z) \]

d. Magnitud de un Vector

La magnitud (o norma) de un vector \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \) se calcula como: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

Ejemplo 1: Suma de Vectores

Dado \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) \) y \( \mathbf{v} = (4, 5, 6) \), calcule \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \).

Solución: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9) \]

Ejemplo 2: Magnitud de un Vector

Dado \( \mathbf{v} = (3, 4, 12) \), calcule \( |\mathbf{v}| \).

Solución: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Dado \( \mathbf{a} = (2, -1, 3) \) y \( \mathbf{b} = (-1, 4, 0) \):

1. Calcule \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \).
2. Calcule \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \).
3. Calcule \( 2 \mathbf{a} \).

Soluciones:

1. \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2 + (-1), -1 + 4, 3 + 0) = (1, 3, 3) \)
2. \( \mathbf{a} - \mathbf{b} = (2 - (-1), -1 - 4, 3 - 0) = (3, -5, 3) \)
3. \( 2 \mathbf{a} = 2 (2, -1, 3) = (4, -2, 6) \)

Calcule la magnitud de los siguientes vectores:

1. \( \mathbf{c} = (1, 2, 2) \)
2. \( \mathbf{d} = (0, -3, 4) \)

Soluciones:

1. \( |\mathbf{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
2. \( |\mathbf{d}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

En esta sección, hemos aprendido sobre los vectores en el espacio 3D, su notación y las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Estos conceptos son fundamentales para la manipulación de gráficos en 3D y serán la base para temas más avanzados en álgebra lineal y geometría en el espacio. En la próxima sección, exploraremos el producto escalar y vectorial, que son operaciones cruciales para entender las relaciones entre vectores en 3D.