El modelado de superficies es una técnica esencial en gráficos 3D que permite la creación de formas complejas y detalladas. Este tema abarca conceptos matemáticos y algoritmos utilizados para representar y manipular superficies en un espacio tridimensional.

1. Introducción al Modelado de Superficies
2. Superficies Paramétricas
3. Superficies Implícitas
4. Superficies de Bézier
5. Superficies NURBS
6. Ejercicios Prácticos

El modelado de superficies se utiliza para crear objetos tridimensionales con formas suaves y continuas. A diferencia de los modelos de malla que utilizan polígonos, las superficies permiten una representación más precisa y flexible de formas complejas.

• Curvas y Superficies: Las curvas son la base para la creación de superficies. Una superficie puede ser vista como una extensión de una curva en dos dimensiones.
• Control de Puntos: Los puntos de control son utilizados para definir la forma de una superficie.
• Interpolación y Aproximación: Técnicas para ajustar una superficie a través de puntos de control.

Las superficies paramétricas se definen mediante funciones matemáticas que utilizan parámetros para describir la superficie.

Una superficie paramétrica se define mediante una función vectorial:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \begin{pmatrix} x(u, v) \ y(u, v) \ z(u, v) \end{pmatrix} \]

donde \( u \) y \( v \) son parámetros que varían dentro de un dominio específico.

Consideremos una superficie paramétrica simple, como un paraboloide:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \begin{pmatrix} u \ v \ u^2 + v^2 \end{pmatrix} \]

Ejercicio 1: Define una superficie paramétrica para un hiperboloide de una hoja.

Solución:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \begin{pmatrix} \cosh(u) \cos(v) \ \cosh(u) \sin(v) \ \sinh(u) \end{pmatrix} \]

Las superficies implícitas se definen mediante una ecuación que describe todos los puntos en el espacio que pertenecen a la superficie.

Una superficie implícita se define mediante una función \( F(x, y, z) = 0 \).

Una esfera de radio \( r \) centrada en el origen se define como:

\[ F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0 \]

Ejercicio 2: Define una superficie implícita para un toroide con radios \( R \) y \( r \).

Solución:

\[ F(x, y, z) = (R - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 - r^2 = 0 \]

Las superficies de Bézier son una extensión de las curvas de Bézier y se utilizan ampliamente en gráficos por computadora debido a su flexibilidad y facilidad de manipulación.

Una superficie de Bézier de grado \( n \) en \( u \) y \( m \) en \( v \) se define como:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} B_{i,n}(u) B_{j,m}(v) \mathbf{P}_{ij} \]

donde \( B_{i,n}(u) \) y \( B_{j,m}(v) \) son los polinomios de Bernstein y \( \mathbf{P}_{ij} \) son los puntos de control.

Para una superficie de Bézier cúbica (n = m = 3):

\[ \mathbf{S}(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} B_{i,3}(u) B_{j,3}(v) \mathbf{P}_{ij} \]

Ejercicio 3: Define una superficie de Bézier cuadrática (n = m = 2) con puntos de control dados.

Solución:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} B_{i,2}(u) B_{j,2}(v) \mathbf{P}_{ij} \]

donde los puntos de control \( \mathbf{P}_{ij} \) son especificados.

Las superficies NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) son una generalización de las superficies de Bézier y B-Splines, proporcionando mayor flexibilidad y precisión.

Una superficie NURBS se define como:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) w_{ij} \mathbf{P}{ij}}{\sum{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) w_{ij}} \]

donde \( N_{i,p}(u) \) y \( N_{j,q}(v) \) son las funciones base B-Spline y \( w_{ij} \) son los pesos asociados a los puntos de control \( \mathbf{P}_{ij} \).

Para una superficie NURBS cúbica (p = q = 3):

\[ \mathbf{S}(u, v) = \frac{\sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} N_{i,3}(u) N_{j,3}(v) w_{ij} \mathbf{P}{ij}}{\sum{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} N_{i,3}(u) N_{j,3}(v) w_{ij}} \]

Ejercicio 4: Define una superficie NURBS cuadrática (p = q = 2) con puntos de control y pesos dados.

Solución:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \frac{\sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} N_{i,2}(u) N_{j,2}(v) w_{ij} \mathbf{P}{ij}}{\sum{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} N_{i,2}(u) N_{j,2}(v) w_{ij}} \]

donde los puntos de control \( \mathbf{P}{ij} \) y los pesos \( w{ij} \) son especificados.

Descripción: Utiliza los puntos de control dados para crear una superficie de Bézier cúbica.

Puntos de Control:

\[ \begin{array}{ccc} \mathbf{P}{00} & \mathbf{P}{01} & \mathbf{P}{02} & \mathbf{P}{03}
\mathbf{P}{10} & \mathbf{P}{11} & \mathbf{P}{12} & \mathbf{P}{13}
\mathbf{P}{20} & \mathbf{P}{21} & \mathbf{P}{22} & \mathbf{P}{23}
\mathbf{P}{30} & \mathbf{P}{31} & \mathbf{P}{32} & \mathbf{P}{33}
\end{array} \]

Solución:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} B_{i,3}(u) B_{j,3}(v) \mathbf{P}_{ij} \]

Descripción: Utiliza los puntos de control y pesos dados para crear una superficie NURBS cuadrática.

Puntos de Control y Pesos:

\[ \begin{array}{ccc} (\mathbf{P}{00}, w{00}) & (\mathbf{P}{01}, w{01}) & (\mathbf{P}{02}, w{02})
(\mathbf{P}{10}, w{10}) & (\mathbf{P}{11}, w{11}) & (\mathbf{P}{12}, w{12})
(\mathbf{P}{20}, w{20}) & (\mathbf{P}{21}, w{21}) & (\mathbf{P}{22}, w{22})
\end{array} \]

Solución:

\[ \mathbf{S}(u, v) = \frac{\sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} N_{i,2}(u) N_{j,2}(v) w_{ij} \mathbf{P}{ij}}{\sum{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} N_{i,2}(u) N_{j,2}(v) w_{ij}} \]

En esta sección, hemos explorado diversas técnicas de modelado de superficies, incluyendo superficies paramétricas, implícitas, de Bézier y NURBS. Estas técnicas son fundamentales para la creación de gráficos 3D complejos y detallados. A través de ejemplos y ejercicios prácticos, hemos aprendido a definir y manipular estas superficies, proporcionando una base sólida para aplicaciones avanzadas en gráficos por computadora.

En el siguiente tema, "Iluminación y Sombreado", exploraremos cómo aplicar técnicas de iluminación para mejorar la apariencia de los modelos 3D.