En esta sección, exploraremos los conceptos fundamentales de las coordenadas y los planos en el espacio tridimensional (3D). Estos conceptos son esenciales para entender cómo se representan y manipulan objetos en 3D, lo cual es crucial para aplicaciones como gráficos por computadora, simulación física y realidad virtual.

El sistema de coordenadas cartesianas en 3D se basa en tres ejes perpendiculares entre sí:

• Eje X: Representa la dimensión horizontal.
• Eje Y: Representa la dimensión vertical.
• Eje Z: Representa la profundidad.

Un punto en el espacio 3D se representa como un triplete de números \((x, y, z)\), donde:

• \(x\) es la coordenada en el eje X.
• \(y\) es la coordenada en el eje Y.
• \(z\) es la coordenada en el eje Z.

Consideremos el punto \(P\) con coordenadas \((3, 2, 5)\):

• \(x = 3\): El punto está a 3 unidades a la derecha del origen en el eje X.
• \(y = 2\): El punto está a 2 unidades arriba del origen en el eje Y.
• \(z = 5\): El punto está a 5 unidades hacia adelante del origen en el eje Z.

Ejercicio 1: Encuentra las coordenadas del punto \(Q\) que está 4 unidades a la izquierda del origen en el eje X, 3 unidades abajo en el eje Y, y 7 unidades hacia atrás en el eje Z.

Solución:

• \(x = -4\)
• \(y = -3\)
• \(z = -7\)

Por lo tanto, las coordenadas del punto \(Q\) son \((-4, -3, -7)\).

La ecuación general de un plano en el espacio 3D se puede expresar como: \[ ax + by + cz + d = 0 \] donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son constantes.

Consideremos el plano con la ecuación \(2x - 3y + z + 6 = 0\). Para verificar si un punto \((x, y, z)\) está en este plano, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación del plano.

Ejemplo: Verifiquemos si el punto \(P(1, -1, -1)\) está en el plano \(2x - 3y + z + 6 = 0\): \[ 2(1) - 3(-1) + (-1) + 6 = 2 + 3 - 1 + 6 = 10 \] Dado que \(10 \neq 0\), el punto \(P(1, -1, -1)\) no está en el plano.

Ejercicio 2: Verifica si el punto \(R(2, 1, -4)\) está en el plano \(x + 2y - z - 1 = 0\).

Solución: \[ x + 2y - z - 1 = 2 + 2(1) - (-4) - 1 = 2 + 2 + 4 - 1 = 7 \] Dado que \(7 \neq 0\), el punto \(R(2, 1, -4)\) no está en el plano.

La intersección de dos planos en el espacio 3D puede ser una línea. Para encontrar la intersección de dos planos, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de los planos.

Consideremos los planos: \[ P_1: x + y + z = 1 \] \[ P_2: 2x - y + 3z = 4 \]

Para encontrar la intersección, resolvemos el sistema: \[ \begin{cases} x + y + z = 1
2x - y + 3z = 4 \end{cases} \]

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\): \[ (x + y + z) + (2x - y + 3z) = 1 + 4 \] \[ 3x + 4z = 5 \] \[ x = \frac{5 - 4z}{3} \]

Sustituimos \(x\) en la primera ecuación: \[ \frac{5 - 4z}{3} + y + z = 1 \] \[ y = 1 - z - \frac{5 - 4z}{3} \] \[ y = \frac{3 - 3z - 5 + 4z}{3} \] \[ y = \frac{-2 + z}{3} \]

Por lo tanto, la intersección es la línea parametrizada por \(z\): \[ \begin{cases} x = \frac{5 - 4z}{3}
y = \frac{-2 + z}{3}
z = z \end{cases} \]

Ejercicio 3: Encuentra la intersección de los planos \(x + 2y + 3z = 6\) y \(2x - y + z = 4\).

Solución: \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 6
2x - y + z = 4 \end{cases} \]

Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y restamos de la primera: \[ x + 2y + 3z - 4x + 2y - 2z = 6 - 8 \] \[ -3x + 4y + z = -2 \] \[ x = \frac{2 + 4y + z}{3} \]

Sustituimos \(x\) en la primera ecuación: \[ \frac{2 + 4y + z}{3} + 2y + 3z = 6 \] \[ 2 + 4y + z + 6y + 9z = 18 \] \[ 10y + 10z = 16 \] \[ y + z = \frac{8}{5} \]

Por lo tanto, la intersección es la línea parametrizada por \(z\): \[ \begin{cases} x = \frac{2 + 4(\frac{8}{5} - z) + z}{3}
y = \frac{8}{5} - z
z = z \end{cases} \]

En esta sección, hemos aprendido sobre las coordenadas en el espacio 3D y cómo se representan los puntos. También hemos explorado la ecuación general de un plano y cómo verificar si un punto está en un plano. Finalmente, hemos visto cómo encontrar la intersección de dos planos. Estos conceptos son fundamentales para trabajar con gráficos en 3D y nos preparan para los temas más avanzados en geometría y gráficos por computadora.