En esta sección, exploraremos los sistemas de ecuaciones lineales, una herramienta fundamental en álgebra lineal que tiene aplicaciones directas en gráficos 3D y muchas otras áreas de las matemáticas y la ingeniería. Aprenderemos a representar, resolver y entender las propiedades de estos sistemas.

1. Definición de un Sistema de Ecuaciones Lineales
2. Métodos de Resolución
   • Método de Sustitución
   • Método de Eliminación
   • Método de Matrices (Gauss-Jordan)
3. Tipos de Soluciones
   • Solución Única
   • Infinitas Soluciones
   • Sin Solución

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Por ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5
4x - y = 1 \end{cases} \]

Podemos representar el sistema anterior en forma matricial como:

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]

Donde:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3
4 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x
y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5
1 \end{pmatrix} \]

1. Despejar una variable en una de las ecuaciones.
2. Sustituir esta variable en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Sustituir el valor encontrado en la primera ecuación.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5
4x - y = 1 \end{cases} \]

Despejamos \( y \) en la primera ecuación:

\[ y = \frac{5 - 2x}{3} \]

Sustituimos en la segunda ecuación:

\[ 4x - \frac{5 - 2x}{3} = 1 \]

Resolviendo para \( x \):

\[ 12x - 5 + 2x = 3 \implies 14x = 8 \implies x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \]

Sustituimos \( x \) en la primera ecuación:

\[ 2 \left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5 \implies \frac{8}{7} + 3y = 5 \implies 3y = 5 - \frac{8}{7} = \frac{35}{7} - \frac{8}{7} = \frac{27}{7} \implies y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7} \]

1. Multiplicar las ecuaciones para igualar los coeficientes de una variable.
2. Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5
4x - y = 1 \end{cases} \]

Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5
12x - 3y = 3 \end{cases} \]

Sumamos las ecuaciones:

\[ 14x = 8 \implies x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \]

Sustituimos \( x \) en la primera ecuación:

\[ 2 \left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5 \implies \frac{8}{7} + 3y = 5 \implies 3y = 5 - \frac{8}{7} = \frac{35}{7} - \frac{8}{7} = \frac{27}{7} \implies y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7} \]

1. Escribir el sistema en forma de matriz aumentada.
2. Aplicar operaciones de fila para reducir la matriz a su forma escalonada.
3. Resolver el sistema a partir de la matriz reducida.

Ejemplo:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 5
4 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \]

Aplicamos operaciones de fila:

1. \( R2 \leftarrow R2 - 2R1 \):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 5
0 & -7 & | & -9 \end{pmatrix} \]

2. \( R2 \leftarrow -\frac{1}{7}R2 \):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 5
0 & 1 & | & \frac{9}{7} \end{pmatrix} \]

3. \( R1 \leftarrow R1 - 3R2 \):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & | & \frac{2}{7}
0 & 1 & | & \frac{9}{7} \end{pmatrix} \]

4. \( R1 \leftarrow \frac{1}{2}R1 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{1}{7}
0 & 1 & | & \frac{9}{7} \end{pmatrix} \]

De aquí, obtenemos \( x = \frac{4}{7} \) y \( y = \frac{9}{7} \).

Un sistema tiene una solución única si las ecuaciones son independientes y consistentes.

Un sistema tiene infinitas soluciones si las ecuaciones son dependientes y consistentes.

Un sistema no tiene solución si las ecuaciones son inconsistentes.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución:

\[ \begin{cases} 3x + 4y = 10
2x - y = 1 \end{cases} \]

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación:

\[ \begin{cases} x + 2y = 3
3x - y = 4 \end{cases} \]

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de matrices:

\[ \begin{cases} x + y + z = 6
2x - y + 3z = 14
3x + 4y - 2z = 2 \end{cases} \]

Despejamos \( y \) en la segunda ecuación:

\[ y = 2x - 1 \]

Sustituimos en la primera ecuación:

\[ 3x + 4(2x - 1) = 10 \implies 3x + 8x - 4 = 10 \implies 11x = 14 \implies x = \frac{14}{11} \]

Sustituimos \( x \) en \( y = 2x - 1 \):

\[ y = 2 \left(\frac{14}{11}\right) - 1 = \frac{28}{11} - \frac{11}{11} = \frac{17}{11} \]

Multiplicamos la primera ecuación por 3:

\[ \begin{cases} 3x + 6y = 9
3x - y = 4 \end{cases} \]

Restamos las ecuaciones:

\[ 7y = 5 \implies y = \frac{5}{7} \]

Sustituimos \( y \) en la primera ecuación:

\[ x + 2 \left(\frac{5}{7}\right) = 3 \implies x + \frac{10}{7} = 3 \implies x = 3 - \frac{10}{7} = \frac{21}{7} - \frac{10}{7} = \frac{11}{7} \]

Escribimos la matriz aumentada y aplicamos operaciones de fila:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
2 & -1 & 3 & | & 14
3 & 4 & -2 & | & 2 \end{pmatrix} \]

1. \( R2 \leftarrow R2 - 2R1 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & -3 & 1 & | & 2
3 & 4 & -2 & | & 2 \end{pmatrix} \]

2. \( R3 \leftarrow R3 - 3R1 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & -3 & 1 & | & 2
0 & 1 & -5 & | & -16 \end{pmatrix} \]

3. \( R3 \leftarrow R3 + \frac{1}{3}R2 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & -3 & 1 & | & 2
0 & 0 & -\frac{14}{3} & | & -\frac{46}{3} \end{pmatrix} \]

4. \( R3 \leftarrow -\frac{3}{14}R3 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & -3 & 1 & | & 2
0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \]

5. \( R2 \leftarrow R2 - R3 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & -3 & 0 & | & -\frac{9}{7}
0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \]

6. \( R2 \leftarrow -\frac{1}{3}R2 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6
0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{7}
0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \]

7. \( R1 \leftarrow R1 - R2 - R3 \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{10}{7}
0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{7}
0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{pmatrix} \]

De aquí, obtenemos \( x = \frac{10}{7} \), \( y = \frac{3}{7} \) y \( z = \frac{23}{7} \).

En esta sección, hemos aprendido a definir y resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando varios métodos. Estos conceptos son esenciales para la manipulación de gráficos en 3D y otras aplicaciones matemáticas. En la siguiente sección, exploraremos las transformaciones lineales y sus propiedades.