En esta sección, aprenderemos a formular y manipular ecuaciones de planos y rectas en el espacio tridimensional. Este conocimiento es fundamental para la comprensión y manipulación de gráficos en 3D.

1. Ecuación de un Plano
2. Ecuación de una Recta
3. Intersección de Planos y Rectas
4. Distancia de un Punto a un Plano

Un plano en el espacio tridimensional puede ser definido por la ecuación general:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Donde:

• \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes que determinan la orientación del plano.
• \(d\) es el término independiente.
• \((x, y, z)\) son las coordenadas de cualquier punto en el plano.

Ejemplo:

Consideremos el plano definido por la ecuación:

\[ 2x - 3y + z + 5 = 0 \]

Este plano tiene:

• Coeficientes \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\)
• Término independiente \(d = 5\)

Una recta en el espacio tridimensional puede ser representada de varias formas, pero una de las más comunes es la forma paramétrica:

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{d} \]

Donde:

• \(\mathbf{r}(t)\) es el vector de posición de un punto en la recta.
• \(\mathbf{r}_0\) es el vector de posición de un punto conocido en la recta.
• \(\mathbf{d}\) es el vector director de la recta.
• \(t\) es un parámetro real.

Ejemplo:

Consideremos una recta que pasa por el punto \((1, 2, 3)\) y tiene un vector director \((4, -2, 1)\):

\[ \mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(4, -2, 1) \]

Esto se puede desglosar en las ecuaciones paramétricas:

\[ x = 1 + 4t \] \[ y = 2 - 2t \] \[ z = 3 + t \]

Para encontrar la intersección entre un plano y una recta, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano y resolvemos para \(t\).

Ejemplo:

Dado el plano \(2x - 3y + z + 5 = 0\) y la recta \(\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(4, -2, 1)\):

1. Sustituimos \(x = 1 + 4t\), \(y = 2 - 2t\), \(z = 3 + t\) en la ecuación del plano:

\[ 2(1 + 4t) - 3(2 - 2t) + (3 + t) + 5 = 0 \]

2. Simplificamos:

\[ 2 + 8t - 6 + 6t + 3 + t + 5 = 0 \] \[ 14t + 4 = 0 \] \[ t = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7} \]

3. Sustituimos \(t = -\frac{2}{7}\) en las ecuaciones paramétricas de la recta para encontrar el punto de intersección:

\[ x = 1 + 4\left(-\frac{2}{7}\right) = 1 - \frac{8}{7} = \frac{-1}{7} \] \[ y = 2 - 2\left(-\frac{2}{7}\right) = 2 + \frac{4}{7} = \frac{18}{7} \] \[ z = 3 + \left(-\frac{2}{7}\right) = 3 - \frac{2}{7} = \frac{19}{7} \]

El punto de intersección es \(\left(\frac{-1}{7}, \frac{18}{7}, \frac{19}{7}\right)\).

La distancia \(d\) de un punto \((x_1, y_1, z_1)\) a un plano \(ax + by + cz + d = 0\) se calcula con la fórmula:

\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Ejemplo:

Para el punto \((1, 2, 3)\) y el plano \(2x - 3y + z + 5 = 0\):

\[ d = \frac{|2(1) - 3(2) + 1(3) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|2 - 6 + 3 + 5|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \] \[ d = \frac{|4|}{\sqrt{14}} \] \[ d = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{14}}{14} = \frac{2\sqrt{14}}{7} \]

Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos \((1, 2, 3)\), \((4, 0, -1)\) y \((2, 1, 1)\).

Solución:

1. Encuentra dos vectores en el plano usando los puntos dados: \[ \mathbf{v_1} = (4 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (3, -2, -4) \] \[ \mathbf{v_2} = (2 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (1, -1, -2) \]

2. Calcula el producto cruzado de \(\mathbf{v_1}\) y \(\mathbf{v_2}\) para obtener el vector normal \(\mathbf{n}\): \[ \mathbf{n} = \mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & -2 & -4 \ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} \] \[ \mathbf{n} = (0, -2, -1) \]

3. Usa el vector normal y uno de los puntos para encontrar la ecuación del plano: \[ 0(x - 1) - 2(y - 2) - 1(z - 3) = 0 \] \[ -2y - z + 7 = 0 \]

Encuentra el punto de intersección entre la recta \(\mathbf{r}(t) = (2, -1, 3) + t(1, 2, -1)\) y el plano \(x + y + z = 6\).

Solución:

1. Sustituye las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: \[ (2 + t) + (-1 + 2t) + (3 - t) = 6 \] \[ 2 + t - 1 + 2t + 3 - t = 6 \] \[ 4 + 2t = 6 \] \[ 2t = 2 \] \[ t = 1 \]

2. Sustituye \(t = 1\) en las ecuaciones paramétricas de la recta: \[ x = 2 + 1 = 3 \] \[ y = -1 + 2(1) = 1 \] \[ z = 3 - 1 = 2 \]

El punto de intersección es \((3, 1, 2)\).

En esta sección, hemos aprendido a formular y manipular ecuaciones de planos y rectas en el espacio tridimensional. Hemos cubierto cómo encontrar la intersección entre planos y rectas, así como la distancia de un punto a un plano. Estos conceptos son fundamentales para la manipulación de gráficos en 3D y nos preparan para temas más avanzados en geometría y gráficos por computadora.