En esta sección, aprenderemos los conceptos fundamentales de los vectores y los espacios vectoriales. Estos conceptos son esenciales para comprender el álgebra lineal y su aplicación en gráficos 3D.

• Comprender qué es un vector y cómo se representa.
• Aprender las operaciones básicas con vectores.
• Conocer la definición y propiedades de los espacios vectoriales.
• Aplicar estos conceptos en ejemplos y ejercicios prácticos.

Un vector es una entidad matemática que tiene magnitud y dirección. En el contexto de gráficos 3D, los vectores se utilizan para representar puntos, desplazamientos, velocidades, fuerzas, entre otros.

Representación de un Vector

Un vector en un espacio tridimensional se representa como:

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} \]

Donde \( v_x \), \( v_y \) y \( v_z \) son las componentes del vector en las direcciones \( x \), \( y \) y \( z \) respectivamente.

Suma de Vectores

La suma de dos vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) se realiza componente a componente:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x \ u_y \ u_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \ u_z + v_z \end{pmatrix} \]

Producto por un Escalar

El producto de un vector \( \mathbf{v} \) por un escalar \( \alpha \) se realiza multiplicando cada componente del vector por el escalar:

\[ \alpha \mathbf{v} = \alpha \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha v_x \ \alpha v_y \ \alpha v_z \end{pmatrix} \]

Magnitud de un Vector

La magnitud (o norma) de un vector \( \mathbf{v} \) se calcula como:

\[ | \mathbf{v} | = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es una colección de vectores que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por escalares, cumpliendo ciertas propiedades.

Propiedades de los Espacios Vectoriales

1. Cierre bajo la suma: Si \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) son vectores en el espacio, entonces \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) también está en el espacio.
2. Cierre bajo la multiplicación por escalares: Si \( \mathbf{v} \) es un vector en el espacio y \( \alpha \) es un escalar, entonces \( \alpha \mathbf{v} \) también está en el espacio.
3. Existencia del vector cero: Existe un vector \( \mathbf{0} \) tal que \( \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \) para cualquier vector \( \mathbf{v} \) en el espacio.
4. Existencia de vectores opuestos: Para cada vector \( \mathbf{v} \), existe un vector \( -\mathbf{v} \) tal que \( \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} \).

Consideremos dos vectores en el espacio 3D:

\[ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} \]

1. Suma de Vectores:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 7 \ 9 \end{pmatrix} \]

2. Producto por un Escalar:

\[ 2 \mathbf{u} = 2 \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 \end{pmatrix} \]

3. Magnitud de un Vector:

\[ | \mathbf{u} | = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]

Dado el vector \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \ 5 \end{pmatrix} \) y el vector \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \ 4 \ 2 \end{pmatrix} \):

1. Calcula \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \).
2. Calcula \( 3 \mathbf{a} \).
3. Calcula la magnitud de \( \mathbf{b} \).

1. \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \ 4 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 7 \end{pmatrix} \)
2. \( 3 \mathbf{a} = 3 \begin{pmatrix} 3 \ -2 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \ -6 \ 15 \end{pmatrix} \)
3. \( | \mathbf{b} | = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21} \)

En esta sección, hemos introducido los conceptos básicos de vectores y espacios vectoriales, incluyendo sus definiciones, operaciones y propiedades. Estos conceptos son fundamentales para el estudio del álgebra lineal y su aplicación en gráficos 3D. En la próxima sección, exploraremos las matrices y los determinantes, que son herramientas esenciales para trabajar con transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

Continúa con el siguiente tema: Matrices y Determinantes