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Álgebra Lineal en MATLAB

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El álgebra lineal es una parte fundamental de la programación en MATLAB, ya que este lenguaje está diseñado específicamente para trabajar con matrices y vectores. En esta sección, aprenderemos cómo realizar operaciones de álgebra lineal utilizando MATLAB.

Contenidos

  1. Introducción al Álgebra Lineal
  2. Operaciones Básicas con Matrices
  3. Descomposiciones de Matrices
  4. Sistemas de Ecuaciones Lineales
  5. Valores y Vectores Propios
  6. Ejercicios Prácticos

Introducción al Álgebra Lineal

El álgebra lineal se centra en el estudio de vectores, matrices y las operaciones que se pueden realizar con ellos. MATLAB proporciona una amplia gama de funciones para trabajar con estos elementos, facilitando la implementación de algoritmos complejos de manera eficiente.

Operaciones Básicas con Matrices

Suma y Resta de Matrices

A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

% Suma de matrices
C = A + B;

% Resta de matrices
D = A - B;

Multiplicación de Matrices

% Multiplicación de matrices
E = A * B;

Transposición de Matrices

% Transposición de una matriz
F = A';

Inversa de una Matriz

% Inversa de una matriz
G = inv(A);

Determinante de una Matriz

% Determinante de una matriz
detA = det(A);

Descomposiciones de Matrices

Descomposición LU

La descomposición LU es una factorización de una matriz en un producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U).

[L, U] = lu(A);

Descomposición QR

La descomposición QR es una factorización de una matriz en un producto de una matriz ortogonal (Q) y una matriz triangular superior (R).

[Q, R] = qr(A);

Descomposición en Valores Singulares (SVD)

La descomposición en valores singulares descompone una matriz en tres matrices: una matriz ortogonal (U), una matriz diagonal (S) y otra matriz ortogonal (V).

[U, S, V] = svd(A);

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma \(Ax = b\), podemos utilizar la función mldivide o el operador \.

A = [1, 2; 3, 4];
b = [5; 6];

% Resolución del sistema de ecuaciones
x = A \ b;

Valores y Vectores Propios

Cálculo de Valores y Vectores Propios

Los valores y vectores propios de una matriz son fundamentales en muchas aplicaciones de álgebra lineal.

% Cálculo de valores y vectores propios
[eigenVectors, eigenValues] = eig(A);

Ejercicios Prácticos

Ejercicio 1: Operaciones Básicas

Problema: Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}\) y la matriz \(B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}\), realiza las siguientes operaciones:

  1. Suma de \(A\) y \(B\).
  2. Resta de \(A\) y \(B\).
  3. Multiplicación de \(A\) y \(B\).
  4. Transposición de \(A\).
  5. Inversa de \(A\).
  6. Determinante de \(A\).

Solución:

A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

% Suma de matrices
C = A + B;

% Resta de matrices
D = A - B;

% Multiplicación de matrices
E = A * B;

% Transposición de una matriz
F = A';

% Inversa de una matriz
G = inv(A);

% Determinante de una matriz
detA = det(A);

Ejercicio 2: Resolución de un Sistema de Ecuaciones

Problema: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales dado por \(Ax = b\), donde \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix}\) y \(b = \begin{bmatrix} 8 \ 13 \end{bmatrix}\).

Solución:

A = [2, 1; 1, 3];
b = [8; 13];

% Resolución del sistema de ecuaciones
x = A \ b;

Ejercicio 3: Valores y Vectores Propios

Problema: Calcula los valores y vectores propios de la matriz \(A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \ 1 & 1 \end{bmatrix}\).

Solución:

A = [4, -2; 1, 1];

% Cálculo de valores y vectores propios
[eigenVectors, eigenValues] = eig(A);

Conclusión

En esta sección, hemos cubierto los conceptos fundamentales del álgebra lineal en MATLAB, incluyendo operaciones básicas con matrices, descomposiciones de matrices, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cálculo de valores y vectores propios. Estos conceptos son esenciales para muchas aplicaciones avanzadas en MATLAB y proporcionan una base sólida para el análisis y la manipulación de datos. En la siguiente sección, exploraremos las estructuras de programación en MATLAB, que nos permitirán crear programas más complejos y eficientes.

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