La inferencia estadística es una rama de la estadística que se ocupa de hacer predicciones o generalizaciones sobre una población a partir de una muestra de datos. Este proceso es fundamental en el Machine Learning, ya que permite tomar decisiones y hacer predicciones basadas en datos observados.

1. Población y Muestra:

   • Población: Conjunto completo de elementos o individuos que se desea estudiar.
   • Muestra: Subconjunto de la población que se selecciona para el estudio.

2. Parámetros y Estadísticos:

   • Parámetro: Medida descriptiva de una población (por ejemplo, la media poblacional).
   • Estadístico: Medida descriptiva de una muestra (por ejemplo, la media muestral).

3. Distribución Muestral:

   • Es la distribución de un estadístico calculado a partir de múltiples muestras de una población.

4. Estimación:

   • Puntual: Proporciona un único valor como estimación del parámetro poblacional.
   • Por Intervalo: Proporciona un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza.

5. Pruebas de Hipótesis:

   • Procedimiento para evaluar si una afirmación sobre un parámetro poblacional es consistente con los datos muestrales.

La estimación puntual utiliza un solo valor para estimar un parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral (\(\bar{x}\)) se utiliza para estimar la media poblacional (\(\mu\)).

La estimación por intervalo proporciona un rango de valores, llamado intervalo de confianza, que se espera que contenga el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza (por ejemplo, 95%).

Fórmula del Intervalo de Confianza para la Media: \[ \bar{x} \pm z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]

Donde:

• \(\bar{x}\) = Media muestral
• \(z\) = Valor crítico de la distribución normal para el nivel de confianza deseado
• \(\sigma\) = Desviación estándar de la población
• \(n\) = Tamaño de la muestra

Las pruebas de hipótesis son procedimientos estadísticos para tomar decisiones sobre los parámetros poblacionales. Se basan en la formulación de dos hipótesis:

1. Hipótesis Nula (\(H_0\)): Afirmación inicial que se asume verdadera hasta que se demuestre lo contrario.
2. Hipótesis Alternativa (\(H_a\)): Afirmación que se acepta si la evidencia muestral sugiere que \(H_0\) es falsa.

1. Formular las Hipótesis:

   • \(H_0\): \(\mu = \mu_0\)
   • \(H_a\): \(\mu \neq \mu_0\)

2. Seleccionar el Nivel de Significancia (\(\alpha\)):

   • Comúnmente se usa \(\alpha = 0.05\).

3. Calcular el Estadístico de Prueba:

   • Para la media: \( z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \)

4. Determinar la Región Crítica:

   • Basada en \(\alpha\) y la distribución del estadístico de prueba.

5. Tomar una Decisión:

   • Rechazar \(H_0\) si el estadístico de prueba cae en la región crítica.

Supongamos que queremos probar si la media de una población es igual a 50. Tomamos una muestra de 30 observaciones con una media muestral de 52 y una desviación estándar de 10.

1. Formular las Hipótesis:

   • \(H_0\): \(\mu = 50\)
   • \(H_a\): \(\mu \neq 50\)

2. Seleccionar el Nivel de Significancia:

   • \(\alpha = 0.05\)

3. Calcular el Estadístico de Prueba: \[ z = \frac{52 - 50}{10 / \sqrt{30}} = \frac{2}{1.83} \approx 1.09 \]

4. Determinar la Región Crítica:

   • Para \(\alpha = 0.05\), los valores críticos son \(\pm 1.96\).

5. Tomar una Decisión:

   • Como \(1.09\) no está en la región crítica (\(\pm 1.96\)), no rechazamos \(H_0\).

Problema: Una muestra de 40 estudiantes tiene una media de 70 en un examen con una desviación estándar de 8. Calcula el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

Solución: \[ \bar{x} = 70, \sigma = 8, n = 40, z = 1.96 \] \[ \text{Error estándar} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{40}} = 1.26 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = 70 \pm 1.96 \times 1.26 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = 70 \pm 2.47 \] \[ \text{Intervalo de confianza} = [67.53, 72.47] \]

Problema: Una empresa afirma que el tiempo promedio de espera en su servicio de atención al cliente es de 5 minutos. Una muestra de 50 clientes tiene un tiempo promedio de espera de 5.5 minutos con una desviación estándar de 1.2 minutos. Realiza una prueba de hipótesis con \(\alpha = 0.05\).

Solución:

1. Formular las Hipótesis:

   • \(H_0\): \(\mu = 5\)
   • \(H_a\): \(\mu \neq 5\)

2. Seleccionar el Nivel de Significancia:

   • \(\alpha = 0.05\)

3. Calcular el Estadístico de Prueba: \[ z = \frac{5.5 - 5}{1.2 / \sqrt{50}} = \frac{0.5}{0.17} \approx 2.94 \]

4. Determinar la Región Crítica:

   • Para \(\alpha = 0.05\), los valores críticos son \(\pm 1.96\).

5. Tomar una Decisión:

   • Como \(2.94\) está en la región crítica (\(\pm 1.96\)), rechazamos \(H_0\).

La inferencia estadística es una herramienta poderosa en el análisis de datos y el Machine Learning. Permite hacer estimaciones y tomar decisiones basadas en datos muestrales, lo cual es esencial para construir modelos predictivos robustos. En esta sección, hemos cubierto los conceptos básicos de la inferencia estadística, incluyendo la estimación puntual y por intervalo, así como las pruebas de hipótesis. Con estos fundamentos, estarás mejor preparado para abordar problemas más complejos en el campo del Machine Learning.