En la lección anterior dibujamos el histograma de los importes de pedido de MercaFresh y hablamos de su "forma": una masa central y una cola a la derecha. Las distribuciones de probabilidad son los modelos matemáticos de esas formas: describen cómo se reparten los valores que puede tomar una variable aleatoria. Entenderlas es imprescindible en Machine Learning porque muchos algoritmos asumen que los datos siguen ciertas distribuciones, y porque comparar los datos reales con una distribución esperada es la base de la detección de anomalías. En esta lección conocerás las distribuciones discretas y continuas más importantes, estudiarás la normal en profundidad y aprenderás a generarlas y visualizarlas con NumPy y scipy.

1. Variable aleatoria y función de probabilidad
2. Distribuciones discretas: Bernoulli, binomial y Poisson
3. Distribuciones continuas: uniforme, normal y exponencial
4. La distribución normal en detalle: regla 68-95-99.7 y z-scores
5. Por qué importan las distribuciones en Machine Learning
6. Generación y visualización con NumPy y scipy

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor depende del azar: no sabemos qué valdrá en la próxima observación, pero sí podemos describir con qué probabilidad tomará cada valor posible.

Ejemplos en MercaFresh:

• X = "¿el próximo cliente abandona el carrito?" → toma valores 0 o 1.
• Y = "número de pedidos que llegarán en la próxima hora" → 0, 1, 2, 3...
• Z = "importe del próximo pedido" → cualquier valor real positivo.

La forma de describir esas probabilidades depende del tipo de variable (¿recuerdas la clasificación de 02-01?):

Un matiz que confunde al principio: para una variable continua, la pregunta "¿cuál es la probabilidad de que el pedido valga exactamente 50,00 €?" tiene respuesta 0. Lo que sí tiene respuesta es "¿cuál es la probabilidad de que valga entre 45 y 55 €?": el área bajo la curva de densidad en ese intervalo. Para calcular áreas acumuladas se usa la función de distribución acumulada (CDF): F(x) = P(X ≤ x), que scipy nos da hecha.

Modela un único ensayo con dos resultados: éxito (1) con probabilidad p, fracaso (0) con probabilidad 1−p.

• MercaFresh: "un cliente concreto hace churn este mes" con p = 0,08.
• Es el ladrillo básico: la binomial y muchos modelos de clasificación (como la regresión logística del módulo 4) se construyen sobre ella.

Si repetimos n ensayos Bernoulli independientes con la misma p, el número total de éxitos sigue una binomial B(n, p).

• MercaFresh: de 500 clientes con p = 0,08 de churn cada uno, ¿cuántos harán churn este mes? → B(500, 0,08), con media n·p = 40 clientes.

• stats.binom.pmf(k, n, p) devuelve P(X = k): la probabilidad de exactamente k éxitos.
• stats.binom.cdf(k, n, p) devuelve P(X ≤ k); restarla de 1 da la probabilidad de la cola superior. Este patrón 1 - cdf se usa constantemente.

Lectura de negocio: aunque "lo esperado" son 40 bajas, hay más de un 6 % de meses en los que habrá 50 o más solo por azar. Saber cuánta variación es normal evita alarmas injustificadas.

Modela el número de eventos en un intervalo fijo cuando ocurren de forma independiente a un ritmo medio λ (lambda).

• MercaFresh: si llegan de media λ = 12 pedidos por hora, ¿qué probabilidad hay de recibir 20 o más en una hora (y saturar el reparto)?

Regla mnemotécnica: Bernoulli = una moneda, binomial = n monedas, Poisson = "cuántas veces suena el timbre en una hora".

Todos los valores de un intervalo [a, b] son igual de probables; su densidad es una meseta plana. Aparece poco en datos reales, pero es la base de la simulación (los generadores aleatorios producen uniformes y de ahí derivan todo lo demás) y un modelo honesto de "no sé nada dentro de este rango".

La campana simétrica definida por su media μ (centro) y su desviación estándar σ (anchura). Es la reina de las distribuciones por el teorema central del límite (adelanto: sumas y medias de muchos efectos pequeños e independientes tienden a ser normales; lo demostraremos con una simulación en la lección 02-04). Por eso tantas magnitudes agregadas —errores de medición, medias de muestras— tienen forma de campana.

• MercaFresh: el tiempo de preparación de un pedido en almacén ronda una normal con μ = 18 min y σ = 4 min.

Modela el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson. Si llegan λ = 12 pedidos/hora, el tiempo entre dos pedidos consecutivos sigue una exponencial con media 1/λ = 5 minutos. Es asimétrica con cola derecha y "sin memoria": la probabilidad de esperar 5 minutos más no depende de cuánto llevas esperando.

Fíjate en la pareja Poisson/exponencial: cuentan lo mismo desde dos ángulos (cuántos eventos por intervalo vs. cuánto tiempo entre eventos).

Si X sigue una normal con media μ y desviación estándar σ:

• El 68,3 % de los valores cae en μ ± 1σ.
• El 95,4 % cae en μ ± 2σ.
• El 99,7 % cae en μ ± 3σ.

Para el tiempo de preparación de MercaFresh (μ = 18, σ = 4):

• 68 % de los pedidos se preparan entre 14 y 22 minutos.
• 95 % entre 10 y 26 minutos.
• 99,7 % entre 6 y 30 minutos. Un pedido que tarda 35 minutos en prepararse está a más de 4σ: algo raro ha pasado.

El z-score de un valor x es:

z = (x − μ) / σ

Responde a: ¿a cuántas desviaciones estándar de la media está este valor? Es una regla universal de "rareza" que no depende de las unidades:

• Un |z| < 2 es terreno normal; |z| > 3 es un candidato serio a anomalía.
• stats.norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma) da P(X ≤ x) para la normal de media loc y desviación scale; su complemento dice que solo un 0,06 % de pedidos tardaría tanto por puro azar.

Aquí usamos el z-score como detector de rarezas. En el módulo 3 (lección 03-05) reaparecerá con otro papel: estandarizar variables como paso de preprocesamiento para los modelos. Misma fórmula, propósito distinto.

1. Supuestos de los modelos. Varios algoritmos funcionan mejor (o solo tienen garantías) bajo ciertas distribuciones: la regresión lineal (04-01) asume errores normales, Naive Bayes gaussiano (04-06) asume normalidad por clase, K-means (05-01) rinde mejor con grupos "redondos" de tipo gaussiano. Conocer la distribución real de tus datos te dice si esos supuestos son razonables.
2. Detección de anomalías. El planteamiento clásico es: modela la distribución de lo normal y marca como anómalo lo que sea muy improbable bajo ella. Para MercaFresh: si los importes de pedido de un cliente siguen aproximadamente una distribución conocida, un pedido con probabilidad bajísima (z-score enorme, cola de la Poisson, etc.) merece revisión antes de aceptarse: puede ser un error o un fraude.
3. Datos sintéticos y simulación. Generar datos con distribuciones controladas (como hicimos en 02-01) permite probar pipelines y modelos antes de tener datos reales.
4. Colas y transformaciones. Reconocer una cola derecha (importes, tiempos) anticipa que quizá convenga transformar la variable (p. ej., con logaritmos), técnica que se desarrolla en la lección 03-03.

División del trabajo entre librerías:

• NumPy (np.random.default_rng()): generar muestras aleatorias.
• scipy.stats: calcular PMF/PDF, CDF, cuantiles y ajustar distribuciones.
• matplotlib: visualizar y comparar muestra vs. curva teórica.

Claves del código:

• rng.binomial, rng.poisson, rng.normal, rng.exponential generan muestras de cada distribución; size=2000 pide 2.000 observaciones simuladas.
• density=True en el histograma normaliza el eje Y para que el área total sea 1, y así el histograma sea comparable con la curva de densidad teórica que dibujamos encima con stats.<dist>.pdf.
• Superponer muestra e histograma con la PDF teórica es el chequeo visual más simple de "¿mis datos se parecen a esta distribución?". En la lección 02-04 veremos contrastes formales para responder con números.
• Observa las formas: binomial y Poisson son campanas discretas casi simétricas (con estos parámetros), la normal es la campana continua perfecta y la exponencial decae desde cero con cola derecha, como los tiempos entre pedidos reales.

• Interpretar la densidad como probabilidad. f(x) puede valer más de 1 (por ejemplo, en una uniforme estrecha); la probabilidad es el área bajo la curva en un intervalo, no la altura.
• Asumir normalidad porque sí. Importes y tiempos suelen tener cola derecha (asimetría); aplicar la regla 68-95-99.7 a datos no normales da conclusiones erróneas. Dibuja el histograma primero.
• Confundir los parámetros de scipy. scale en stats.expon es la media (1/λ), no λ. Y stats.norm recibe la desviación estándar (scale), no la varianza. Consulta siempre la parametrización en la documentación.
• Olvidar la independencia. La binomial exige ensayos independientes con la misma p. Si el churn de un cliente arrastra al de sus vecinos (efecto boca a boca), el modelo binomial se queda corto.
• Usar z-scores con distribuciones muy asimétricas. Un z-score de 3 en una exponencial no es tan raro como en una normal. La regla |z| > 3 presupone campana.
• Consejo: memoriza las parejas "fenómeno → distribución" de las tablas de esta lección; reconocer el patrón correcto en un problema nuevo es el 80 % del trabajo.

MercaFresh envía una campaña de email a 200 clientes con una probabilidad de conversión del 5 % cada uno. (a) ¿Qué distribución sigue el número de conversiones y con qué parámetros? (b) Calcula con scipy la probabilidad de conseguir exactamente 10 conversiones y (c) la de conseguir 15 o más.

El tiempo de preparación de pedidos sigue una normal con μ = 18 min y σ = 4 min. Usando solo la regla 68-95-99.7 (sin código): (a) ¿entre qué valores está el 95 % central de los pedidos? (b) ¿Qué porcentaje aproximado tarda más de 26 minutos? (c) Un pedido tardó 6 minutos: ¿cuál es su z-score y cómo lo interpretas?

Al centro logístico de MercaFresh llegan de media 12 pedidos por hora. Simula con NumPy 10.000 horas de actividad y estima empíricamente la probabilidad de recibir 20 o más pedidos en una hora. Compara el resultado con el valor exacto de 1 - stats.poisson.cdf(19, mu=12).

Solución 1

(a) Binomial B(n=200, p=0,05): 200 ensayos Bernoulli independientes. Su media es n·p = 10 conversiones.

(b) Un 12,9 % de probabilidad de exactamente 10. (c) Un 7,4 % de conseguir 15 o más. Nota: para la cola "15 o más" se resta la CDF en 14, no en 15.

Solución 2

• (a) μ ± 2σ = 18 ± 8 → entre 10 y 26 minutos.
• (b) Fuera de μ ± 2σ queda el 5 % repartido en dos colas; solo la superior: ≈ 2,5 % de los pedidos tarda más de 26 min.
• (c) z = (6 − 18) / 4 = −3. Está a tres desviaciones estándar por debajo de la media: un pedido preparado sospechosamente rápido (¿se registró mal el tiempo?, ¿pedido de un solo artículo?). Las anomalías también existen por la izquierda.

Solución 3

(horas >= 20) crea un array de booleanos y .mean() calcula la proporción de True: la frecuencia con que ocurre el evento en la simulación. Con 10.000 repeticiones, la estimación empírica (~2,1 %) coincide casi exactamente con la teórica. Este patrón "simular y contar" es una herramienta potentísima cuando la fórmula exacta no existe o no la recuerdas.

Ya sabes qué es una variable aleatoria y conoces las seis distribuciones de trabajo del día a día: Bernoulli, binomial y Poisson para contar; uniforme, normal y exponencial para medir. Has profundizado en la normal —la regla 68-95-99.7 y los z-scores— y has visto por qué las distribuciones importan en ML: sustentan los supuestos de los modelos y la detección de anomalías en los pedidos de MercaFresh, además de permitir simulaciones con NumPy y cálculos exactos con scipy. Hasta ahora hemos mirado cada variable por separado; el siguiente paso es estudiar cómo se relacionan entre sí: en la próxima lección, covarianza y correlación nos dirán qué variables de MercaFresh se mueven juntas y cuáles avisan del churn.