En este tema, exploraremos las distribuciones de probabilidad, un concepto fundamental en estadística y machine learning. Las distribuciones de probabilidad nos permiten modelar y entender cómo se distribuyen los datos y son esenciales para realizar inferencias y predicciones.

• Comprender qué es una distribución de probabilidad.
• Conocer las principales distribuciones de probabilidad.
• Aprender a calcular y utilizar funciones de densidad y funciones de distribución acumulada.
• Aplicar distribuciones de probabilidad en problemas prácticos.

Una distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria. Existen dos tipos principales de distribuciones de probabilidad:

1. Distribuciones Discretas: Se aplican a variables aleatorias que toman un número finito o contable de valores.
2. Distribuciones Continuas: Se aplican a variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango continuo.

Las distribuciones discretas se utilizan cuando las variables pueden tomar valores específicos y contables. Algunas de las distribuciones discretas más comunes son:

• Distribución Binomial: Modela el número de éxitos en una serie de ensayos independientes y con la misma probabilidad de éxito.
• Distribución de Poisson: Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo.

Ejemplo: Distribución Binomial

La distribución binomial se define por dos parámetros: \( n \) (número de ensayos) y \( p \) (probabilidad de éxito en cada ensayo). La función de probabilidad binomial es:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

donde:

• \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial.
• \( k \) es el número de éxitos.

Ejemplo en Python:

Las distribuciones continuas se utilizan cuando las variables pueden tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. Algunas de las distribuciones continuas más comunes son:

• Distribución Normal: También conocida como distribución gaussiana, es una de las distribuciones más importantes en estadística.
• Distribución Exponencial: Modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.

Ejemplo: Distribución Normal

La distribución normal se define por dos parámetros: la media (\( \mu \)) y la desviación estándar (\( \sigma \)). La función de densidad de probabilidad (PDF) de una distribución normal es:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Ejemplo en Python:

La función de distribución acumulada (CDF) de una variable aleatoria \( X \) es la probabilidad de que \( X \) tome un valor menor o igual a \( x \):

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

Para la distribución normal, la CDF se puede calcular usando la función norm.cdf de scipy.stats.

Ejemplo en Python:

Ejercicio 1:

Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos en 8 ensayos con una probabilidad de éxito de 0.4 en cada ensayo utilizando la distribución binomial.

Solución:

Ejercicio 2:

Graficar la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulada (CDF) de una distribución normal con media 2 y desviación estándar 3.

Solución:

En esta sección, hemos aprendido sobre las distribuciones de probabilidad, tanto discretas como continuas. Hemos explorado ejemplos prácticos de la distribución binomial y la distribución normal, y hemos visto cómo calcular y graficar sus funciones de densidad y distribución acumulada. Estos conceptos son fundamentales para el análisis de datos y la construcción de modelos de machine learning.

En el próximo tema, profundizaremos en la inferencia estadística, que nos permitirá hacer estimaciones y pruebas de hipótesis basadas en los datos.