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Simulación de Rigid Bodies

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La simulación de rigid bodies (cuerpos rígidos) es una parte fundamental en la física de videojuegos, ya que permite crear interacciones realistas entre objetos sólidos. En este tema, exploraremos los conceptos clave, las ecuaciones y las técnicas utilizadas para simular cuerpos rígidos en un entorno de videojuego.

Conceptos Básicos

¿Qué es un Rigid Body?

Un rigid body es un objeto que no se deforma bajo la acción de fuerzas. En otras palabras, la distancia entre cualquier par de puntos en el objeto permanece constante. Esto simplifica enormemente los cálculos físicos, ya que no necesitamos considerar deformaciones internas.

Propiedades de un Rigid Body

  1. Masa (m): La cantidad de materia en el objeto.
  2. Centro de Masa (CM): El punto donde se puede considerar que toda la masa del objeto está concentrada.
  3. Momento de Inercia (I): La resistencia del objeto a cambiar su estado de rotación.
  4. Velocidad Lineal (v): La velocidad del centro de masa.
  5. Velocidad Angular (ω): La velocidad de rotación alrededor del centro de masa.

Ecuaciones de Movimiento

Movimiento Lineal

El movimiento lineal de un rigid body se describe mediante la segunda ley de Newton:

\[ F = m \cdot a \]

Donde:

  • \( F \) es la fuerza aplicada.
  • \( m \) es la masa del objeto.
  • \( a \) es la aceleración.

Movimiento Rotacional

El movimiento rotacional se describe mediante la ecuación del momento de fuerza (torque):

\[ \tau = I \cdot \alpha \]

Donde:

  • \( \tau \) es el torque aplicado.
  • \( I \) es el momento de inercia.
  • \( \alpha \) es la aceleración angular.

Simulación en Motores de Física

Integración Numérica

Para simular el movimiento de rigid bodies, utilizamos métodos de integración numérica para actualizar las posiciones y velocidades de los objetos en cada frame del juego.

Método de Euler

El método de Euler es uno de los métodos más simples para la integración numérica:

\[ v_{t+1} = v_t + a \cdot \Delta t \] \[ x_{t+1} = x_t + v_{t+1} \cdot \Delta t \]

Donde:

  • \( v \) es la velocidad.
  • \( a \) es la aceleración.
  • \( x \) es la posición.
  • \( \Delta t \) es el intervalo de tiempo entre frames.

Ejemplo Práctico

A continuación, se presenta un ejemplo de código en C++ utilizando un motor de física básico para simular un rigid body:

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Vector2 {
    float x, y;
    
    Vector2 operator+(const Vector2& other) const {
        return {x + other.x, y + other.y};
    }
    
    Vector2 operator*(float scalar) const {
        return {x * scalar, y * scalar};
    }
};

struct RigidBody {
    Vector2 position;
    Vector2 velocity;
    float mass;
    
    void applyForce(const Vector2& force, float deltaTime) {
        Vector2 acceleration = {force.x / mass, force.y / mass};
        velocity = velocity + acceleration * deltaTime;
        position = position + velocity * deltaTime;
    }
};

int main() {
    RigidBody body = {{0, 0}, {0, 0}, 1.0f}; // Inicialización del rigid body
    Vector2 force = {10, 0}; // Fuerza aplicada
    float deltaTime = 0.016f; // Tiempo entre frames (aproximadamente 60 FPS)
    
    for (int i = 0; i < 100; ++i) {
        body.applyForce(force, deltaTime);
        std::cout << "Position at frame " << i << ": (" << body.position.x << ", " << body.position.y << ")\n";
    }
    
    return 0;
}

Explicación del Código

  1. Estructura Vector2: Representa un vector en 2D con operaciones básicas de suma y multiplicación por un escalar.
  2. Estructura RigidBody: Contiene la posición, velocidad y masa del cuerpo rígido. El método applyForce aplica una fuerza al cuerpo y actualiza su posición y velocidad utilizando el método de Euler.
  3. Función main: Inicializa un RigidBody, aplica una fuerza constante y simula su movimiento durante 100 frames, imprimiendo la posición en cada frame.

Ejercicio Práctico

Ejercicio 1: Simulación de un Rigid Body en 2D

Modifica el código anterior para incluir la simulación de la rotación de un rigid body. Debes considerar el torque y el momento de inercia.

Solución

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Vector2 {
    float x, y;
    
    Vector2 operator+(const Vector2& other) const {
        return {x + other.x, y + other.y};
    }
    
    Vector2 operator*(float scalar) const {
        return {x * scalar, y * scalar};
    }
};

struct RigidBody {
    Vector2 position;
    Vector2 velocity;
    float mass;
    float angle; // Ángulo de rotación
    float angularVelocity; // Velocidad angular
    float momentOfInertia; // Momento de inercia
    
    void applyForce(const Vector2& force, float deltaTime) {
        Vector2 acceleration = {force.x / mass, force.y / mass};
        velocity = velocity + acceleration * deltaTime;
        position = position + velocity * deltaTime;
    }
    
    void applyTorque(float torque, float deltaTime) {
        float angularAcceleration = torque / momentOfInertia;
        angularVelocity = angularVelocity + angularAcceleration * deltaTime;
        angle = angle + angularVelocity * deltaTime;
    }
};

int main() {
    RigidBody body = {{0, 0}, {0, 0}, 1.0f, 0, 0, 1.0f}; // Inicialización del rigid body
    Vector2 force = {10, 0}; // Fuerza aplicada
    float torque = 5.0f; // Torque aplicado
    float deltaTime = 0.016f; // Tiempo entre frames (aproximadamente 60 FPS)
    
    for (int i = 0; i < 100; ++i) {
        body.applyForce(force, deltaTime);
        body.applyTorque(torque, deltaTime);
        std::cout << "Position at frame " << i << ": (" << body.position.x << ", " << body.position.y << "), Angle: " << body.angle << "\n";
    }
    
    return 0;
}

Explicación de la Solución

  1. Nuevas Propiedades: Se añadieron angle, angularVelocity y momentOfInertia a la estructura RigidBody.
  2. Método applyTorque: Aplica un torque al cuerpo rígido y actualiza su ángulo y velocidad angular utilizando el método de Euler.
  3. Función main: Aplica tanto una fuerza como un torque al cuerpo rígido y simula su movimiento y rotación durante 100 frames.

Conclusión

En esta sección, hemos cubierto los conceptos básicos y las ecuaciones necesarias para simular rigid bodies en un entorno de videojuego. Hemos visto cómo aplicar fuerzas y torques, y cómo utilizar métodos de integración numérica para actualizar las posiciones y velocidades de los objetos. Con estos fundamentos, estarás preparado para implementar simulaciones de cuerpos rígidos más complejas y realistas en tus proyectos de videojuegos.

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