Las funciones recursivas son aquellas que se llaman a sí mismas para resolver un problema. Este enfoque es útil para problemas que pueden dividirse en subproblemas más pequeños del mismo tipo. En este tema, aprenderemos cómo definir y utilizar funciones recursivas en ALGOL.

1. Recursión: Técnica en la que una función se llama a sí misma.
2. Caso Base: Condición que detiene la recursión.
3. Caso Recursivo: Parte de la función que incluye la llamada recursiva.

El factorial de un número \( n \) (denotado como \( n! \)) se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a \( n \). Matemáticamente, se puede definir como:

• \( 0! = 1 \)
• \( n! = n \times (n-1)! \) para \( n > 0 \)

1. Definición de la Función: procedure factorial(n); define una función llamada factorial que toma un parámetro n.
2. Tipo de Parámetro: value n; integer n; especifica que n es un valor entero.
3. Caso Base: if n = 0 then factorial := 1 define el caso base donde el factorial de 0 es 1.
4. Caso Recursivo: else factorial := n * factorial(n - 1) define el caso recursivo donde la función se llama a sí misma con el valor n-1.

La serie de Fibonacci es una secuencia de números donde cada número es la suma de los dos anteriores. Los primeros dos números de la serie son 0 y 1. Matemáticamente, se define como:

• \( F(0) = 0 \)
• \( F(1) = 1 \)
• \( F(n) = F(n-1) + F(n-2) \) para \( n > 1 \)

1. Definición de la Función: procedure fibonacci(n); define una función llamada fibonacci que toma un parámetro n.
2. Tipo de Parámetro: value n; integer n; especifica que n es un valor entero.
3. Caso Base: if n = 0 then fibonacci := 0 y else if n = 1 then fibonacci := 1 definen los casos base donde los primeros dos números de la serie son 0 y 1.
4. Caso Recursivo: else fibonacci := fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) define el caso recursivo donde la función se llama a sí misma con los valores n-1 y n-2.

Escribe una función recursiva en ALGOL para calcular la suma de los primeros \( n \) números naturales.

1. Definición de la Función: procedure sum_natural(n); define una función llamada sum_natural que toma un parámetro n.
2. Tipo de Parámetro: value n; integer n; especifica que n es un valor entero.
3. Caso Base: if n = 0 then sum_natural := 0 define el caso base donde la suma de los primeros 0 números es 0.
4. Caso Recursivo: else sum_natural := n + sum_natural(n - 1) define el caso recursivo donde la función se llama a sí misma con el valor n-1.

• Errores Comunes: Un error común en la recursión es no definir correctamente el caso base, lo que puede llevar a una recursión infinita.
• Optimización: Las funciones recursivas pueden ser ineficientes para problemas grandes debido a la sobrecarga de llamadas a funciones. Considera usar técnicas como la memoización para optimizar.

En esta sección, hemos aprendido sobre las funciones recursivas en ALGOL, cómo definirlas y utilizarlas para resolver problemas comunes como el cálculo del factorial y la serie de Fibonacci. La recursión es una herramienta poderosa, pero debe usarse con cuidado para evitar problemas de rendimiento y errores lógicos. En el próximo módulo, exploraremos los procedimientos en ALGOL y cómo se diferencian de las funciones.